Trigonometrie Beispiele

${(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2} + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$ als $(\sin (θ) - \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$ um.

$(\sin (θ) - \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.2

Multipliziere $(\sin (θ) - \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ)) - \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.3.1.1.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.3.1.3

Multipliziere $- \cos (θ) (- \cos (θ))$ .

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Schritt 1.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + 1 \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.3.1.3.2

Mutltipliziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.3.1.3.3

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.3.1.3.4

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.3.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + {\cos (θ)}^{1 + 1} + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.3.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.3.2

Stelle die Faktoren von $- \sin (θ) \cos (θ)$ um.

$\sin^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.3.3

Subtrahiere $\cos (θ) \sin (θ)$ von $- \cos (θ) \sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.4

Bewege $\cos^{2} (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1.6

Schreibe ${(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$ als $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ um.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + (\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$

Schritt 1.7

Multipliziere $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ))$

Schritt 1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ))$

Schritt 1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)$

Schritt 1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Multipliziere $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Schritt 1.8.1.1.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)$

Schritt 1.8.1.1.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)$

Schritt 1.8.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + {\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)$

Schritt 1.8.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)$

Schritt 1.8.1.2

Multipliziere $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Schritt 1.8.1.2.1

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos (θ)$

Schritt 1.8.1.2.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)$

Schritt 1.8.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + {\cos (θ)}^{1 + 1}$

Schritt 1.8.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ)$

Schritt 1.8.2

Stelle die Faktoren von $\sin (θ) \cos (θ)$ um.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ)$

Schritt 1.8.3

Addiere $\cos (θ) \sin (θ)$ und $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ)$

Schritt 1.9

Bewege $\cos^{2} (θ)$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Schritt 1.10

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + 1 + 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Schritt 1.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.11.1

Stelle $2 \cos (θ)$ und $\sin (θ)$ um.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + 1 + \sin (θ) (2 \cos (θ))$

Schritt 1.11.2

Stelle $\sin (θ)$ und $2$ um.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + 1 + 2 \cdot \sin (θ) \cos (θ)$

Schritt 1.11.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + 1 + \sin (2 θ)$

Schritt 2

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) + 2 + \sin (2 θ)$