Trigonometrie Beispiele

$y = 2 \sin (x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 2 \sin (y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $2 \sin (y) = x$ um.

$2 \sin (y) = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (y) = x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (y) = x$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (y)$ durch $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{2}$

Schritt 2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (\frac{x}{2})$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2})$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 \sin (x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 \sin (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x)) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \sin (x)) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Schritt 4.2.3.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x)) = \arcsin (\sin (x))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\arcsin (\frac{x}{2}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{2})) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Schritt 4.3.3

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\arcsin (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arcsin (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\arcsin (\frac{x}{2})) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 \sin (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2})$