Trigonometrie Beispiele

$y = \sqrt{4 - x} + 1$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{4 - y} + 1$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{4 - y} + 1 = x$ um.

$\sqrt{4 - y} + 1 = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{4 - y} = x - 1$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{4 - y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - y}$ als ${(4 - y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 - y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$4 - y = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$4 - y = (x - 1) (x - 1)$

Schritt 2.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 - y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 - y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 - y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.4.3.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$4 - y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.4.3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$4 - y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.4.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 - y = x^{2} - x - x + 1$

Schritt 2.4.3.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$4 - y = x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 2.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.1.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = x^{2} - 2 x + 1 - 4$

Schritt 2.5.1.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- y = x^{2} - 2 x - 3$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = x^{2} - 2 x - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = x^{2} - 2 x - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2 x}{- 1}$ .

$y = - x^{2} - 1 \cdot (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (- 2 x)$ als $- (- 2 x)$ um.

$y = - x^{2} - (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = - x^{2} + 2 x + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.6

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$y = - x^{2} + 2 x + 3$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - {(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe ${(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2}$ als $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ um.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} (\sqrt{4 - x} + 1) + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$ .

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Schritt 4.2.3.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{4 - x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{4 - x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{1 + 1} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ als $4 - x$ um.

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Schritt 4.2.3.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x}$ als ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((4 - x) + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.3.1.2.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{4 - x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.3.1.4

Mutltipliziere $\sqrt{4 - x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.3.1.5

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.3.2

Addiere $4$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.3.3

Addiere $\sqrt{4 - x}$ und $\sqrt{4 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + 2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 1 \cdot 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.5.2

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.2.3.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + 1 x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Schritt 4.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 \cdot 1 + 3$

Schritt 4.2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$

Schritt 4.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$ .

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Schritt 4.2.4.1.1

Addiere $- 2 \sqrt{4 - x}$ und $2 \sqrt{4 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 0 + 2 + 3$

Schritt 4.2.4.1.2

Addiere $- 5 + x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 2 + 3$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $- 5$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x - 3 + 3$

Schritt 4.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 + 3$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x + 0$

Schritt 4.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- x^{2} + 2 x + 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 - (- x^{2} + 2 x + 3)} + 1$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.2.1

Multipliziere $- - x^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + 1 x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

Schritt 4.3.3.2.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

Schritt 4.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 1 \cdot 3} + 1$

Schritt 4.3.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 3} + 1$

Schritt 4.3.3.3

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} + 1$

Schritt 4.3.3.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}} + 1$

Schritt 4.3.3.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 4.3.3.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + 1$

Schritt 4.3.3.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 1$

Schritt 4.3.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x - 1 + 1$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$