Trigonometrie Beispiele

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81}$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $- \frac{1}{3}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = - \frac{1}{3}$

Schritt 2

Dies ist die Form einer geometrischen Folge.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Schritt 3

Setze die Werte von $a_{1} = 1$ und $r = - \frac{1}{3}$ ein.

$a_{n} = 1 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Schritt 4

Mutltipliziere ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ mit $1$ .

$a_{n} = {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{3}$ an.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Schritt 6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}}$

Schritt 7

Kombiniere ${(- 1)}^{n - 1}$ und $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Schritt 8

Dies ist die Formel zur Berechnung der Summe der ersten $n$ Terme der geometrischen Folge. Ermittle die Werte von $r$ und $a_{1}$ , um sie auszuwerten.

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Schritt 9

Ersetze die Variablen durch die bekannten Werte, um $S_{5}$ zu ermitteln.

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ mit $1$ .

$S_{5} = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Schritt 11

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Schritt 11.2

Kombinieren.

$S_{5} = \frac{3 ({(- \frac{1}{3})}^{5} - 1)}{3 (- \frac{1}{3} - 1)}$

Schritt 12

Wende das Distributivgesetz an.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 14.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{3}$ an.

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{3^{5}})) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$S_{5} = \frac{3 (- \frac{1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1^{5}}{3^{5}}$ in den Zähler.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3^{5}$ heraus.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.3.4

Forme den Ausdruck um.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1^{5}}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.5

Potenziere $3$ mit $4$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.9

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3 \cdot \frac{81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.10

Kombiniere $- 3$ und $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + \frac{- 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.12.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $81$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 243}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.12.2

Subtrahiere $243$ von $- 1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 14.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 15

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 - 3}$

Schritt 15.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 4}$

Schritt 16

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$S_{5} = - \frac{244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Schritt 17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 17.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{244}{81}$ in den Zähler.

$S_{5} = \frac{- 244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Schritt 17.2

Faktorisiere $4$ aus $- 244$ heraus.

$S_{5} = \frac{4 (- 61)}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Schritt 17.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 17.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 17.5

Forme den Ausdruck um.

$S_{5} = \frac{- 61}{81} \cdot \frac{1}{- 1}$

Schritt 18

Mutltipliziere $\frac{- 61}{81}$ mit $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{81 \cdot - 1}$

Schritt 19

Mutltipliziere $81$ mit $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{- 81}$

Schritt 20

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$S_{5} = \frac{61}{81}$