Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{2} \sin (x) + \sqrt{2} \cos (x) > 0$

Schritt 1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2

Separiere Brüche.

$\frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 4

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2} \tan (x) + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2} \tan (x) + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6

Separiere Brüche.

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 8

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > 0 \sec (x)$

Schritt 9

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > 0$

Schritt 10

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{2} \tan (x) > - \sqrt{2}$

Schritt 11

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \tan (x) > - \sqrt{2}$ durch $\sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 11.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \tan (x) > - \sqrt{2}$ durch $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \tan (x)}{\sqrt{2}} > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \tan (x)}{\sqrt{2}} > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 11.2.1.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 11.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 11.3.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\tan (x) > - 1$

Schritt 12

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x > \arctan (- 1)$

Schritt 13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x > - \frac{π}{4}$

Schritt 14

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 15

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 15.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 15.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 16

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 16.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 16.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 16.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 16.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 17

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 17.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 17.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 17.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 17.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 17.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 17.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 17.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 17.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 18

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 19

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$

Schritt 20

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 20.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 20.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 20.1.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{2} \sin (4) + \sqrt{2} \cos (4) > 0$

Schritt 20.1.3

Die linke Seite $- 1.99467202$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 20.2

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ Falsch

Schritt 21

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung