Trigonometrie Beispiele

$\sin (θ) < 0$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ < \arcsin (0)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$θ < 0$

Schritt 3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = π - 0$

Schritt 4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$θ = π$

Schritt 5

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6

Die Periode der Funktion $\sin (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < θ < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < θ < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$θ = 2$

Schritt 9.1.2

Ersetze $θ$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2) < 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $0.90929742$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $π < θ < 2 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $π < θ < 2 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$θ = 5$

Schritt 9.2.2

Ersetze $θ$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (5) < 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $- 0.95892427$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < θ < π$ Falsch

$π < θ < 2 π$ Wahr

$0 < θ < π$ Falsch

$π < θ < 2 π$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(π + 2 π n, 2 π + 2 π n)$

Schritt 12