Trigonometrie Beispiele

x - \frac{8}{x} < 2

$x - \frac{8}{x} < 2$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

1, x, 1

$1, x, 1$

Schritt 1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

x

$x$

x

$x$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in

x - \frac{8}{x} < 2

$x - \frac{8}{x} < 2$ mit

x

$x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in

x - \frac{8}{x} < 2

$x - \frac{8}{x} < 2$ mit

x

$x$ .

x \cdot x - \frac{8}{x} x < 2 x

$x \cdot x - \frac{8}{x} x < 2 x$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ .

x^{2} - \frac{8}{x} x < 2 x

$x^{2} - \frac{8}{x} x < 2 x$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

x

$x$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in

- \frac{8}{x}

$- \frac{8}{x}$ in den Zähler.

x^{2} + \frac{- 8}{x} x < 2 x

$x^{2} + \frac{- 8}{x} x < 2 x$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{- 8}{x} x < 2 x$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 8 < 2 x$

Schritt 3

Löse die Ungleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere

$2 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} - 8 - 2 x < 0$

Schritt 3.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 8 - 2 x = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere

$x^{2} - 8 - 2 x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.1

Betrachte die Form

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

$c$ und deren Summe

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

$- 8$ und deren Summe

$- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 3.5

Setze

$x - 4$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze

$x - 4$ gleich

$0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere

$4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 3.6

Setze

$x + 2$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze

$x + 2$ gleich

$0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere

$2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(x - 4) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 2$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von

$x - \frac{8}{x} - 2$ .

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in

$\frac{8}{x}$ gleich

$0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von

$x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall

$x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

$x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 6.1.2

Ersetze

$x$ durch

$- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 4) - \frac{8}{- 4} < 2$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite

$- 2$ ist kleiner als die rechte Seite

$2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall

$- 2 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

$- 2 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 6.2.2

Ersetze

$x$ durch

$- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 1) - \frac{8}{- 1} < 2$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite

$7$ ist nicht kleiner als die rechte Seite

$2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall

$0 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

$0 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 6.3.2

Ersetze

$x$ durch

$2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2) - \frac{8}{2} < 2$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite

$- 2$ ist kleiner als die rechte Seite

$2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.4

Teste einen Wert im Intervall

$x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

$x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 6.4.2

Ersetze

$x$ durch

$6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(6) - \frac{8}{6} < 2$

Schritt 6.4.3

Die linke Seite

$4.\overline{6}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite

$2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 2$ oder

$0 < x < 4$

Schritt 8

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 2) \cup (0, 4)$

Schritt 9