Trigonometrie Beispiele

$x^{3} + 6 x^{2} > - x^{2} + 7 x + 5$

Schritt 1

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 7.81394463, - 0.49052873, 1.30447337$

Schritt 2

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7.81394463$

$- 7.81394463 < x < - 0.49052873$

$- 0.49052873 < x < 1.30447337$

$x > 1.30447337$

Schritt 3

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7.81394463$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7.81394463$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 3.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 10)}^{3} + 6 {(- 10)}^{2} > - {(- 10)}^{2} + 7 (- 10) + 5$

Schritt 3.1.3

Die linke Seite $- 400$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 165$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7.81394463 < x < - 0.49052873$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7.81394463 < x < - 0.49052873$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 3.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 4)}^{3} + 6 {(- 4)}^{2} > - {(- 4)}^{2} + 7 (- 4) + 5$

Schritt 3.2.3

Die linke Seite $32$ ist größer als die rechte Seite $- 39$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.3

Teste einen Wert im Intervall $- 0.49052873 < x < 1.30447337$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 0.49052873 < x < 1.30447337$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 3.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{3} + 6 {(0)}^{2} > - {(0)}^{2} + 7 (0) + 5$

Schritt 3.3.3

Die linke Seite $0$ ist nicht größer als die rechte Seite $5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 1.30447337$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1.30447337$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 3.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(4)}^{3} + 6 {(4)}^{2} > - {(4)}^{2} + 7 (4) + 5$

Schritt 3.4.3

Die linke Seite $160$ ist größer als die rechte Seite $17$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7.81394463$ Falsch

$- 7.81394463 < x < - 0.49052873$ Wahr

$- 0.49052873 < x < 1.30447337$ Falsch

$x > 1.30447337$ Wahr

$x < - 7.81394463$ Falsch

$- 7.81394463 < x < - 0.49052873$ Wahr

$- 0.49052873 < x < 1.30447337$ Falsch

$x > 1.30447337$ Wahr

Schritt 4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 7.81394463 < x < - 0.49052873$ oder $x > 1.30447337$

Schritt 5

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 7.81394463, - 0.49052873) \cup (1.30447337, \infty)$

Schritt 6