Trigonometrie Beispiele

(7, 2)

$(7, 2)$

Schritt 1

Um den

cos (θ)

$\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten

(0, 0)

$(0, 0)$ und

(7, 2)

$(7, 2)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten

(0, 0)

$(0, 0)$ ,

(7, 0)

$(7, 0)$ und

(7, 2)

$(7, 2)$ .

Gegenüberliegend :

2

$2$

Ankathete :

7

$7$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere

7

$7$ mit

2

$2$ .

\sqrt{49 + {(2)}^{2}}

$\sqrt{49 + {(2)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

\sqrt{49 + 4}

$\sqrt{49 + 4}$

Schritt 2.3

Addiere

49

$49$ und

4

$4$ .

\sqrt{53}

$\sqrt{53}$

\sqrt{53}

$\sqrt{53}$

Schritt 3

Aus

cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

$\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt

cos (θ) = \frac{7}{\sqrt{53}}

$\cos (θ) = \frac{7}{\sqrt{53}}$ .

\frac{7}{\sqrt{53}}

$\frac{7}{\sqrt{53}}$

Schritt 4

Vereinfache

cos (θ)

$\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Mutltipliziere

\frac{7}{\sqrt{53}}

$\frac{7}{\sqrt{53}}$ mit

\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}

$\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}$ .

cos (θ) = \frac{7}{\sqrt{53}} \cdot \frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}

$\cos (θ) = \frac{7}{\sqrt{53}} \cdot \frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}$

Schritt 4.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere

\frac{7}{\sqrt{53}}

$\frac{7}{\sqrt{53}}$ mit

\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}

$\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}$ .

cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere

\sqrt{53}

$\sqrt{53}$ mit

1

$1$ .

cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}$

Schritt 4.2.3

Potenziere

\sqrt{53}

$\sqrt{53}$ mit

1

$1$ .

cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}}$

Schritt 4.2.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{1 + 1}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{2}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{2}}$

Schritt 4.2.6

Schreibe

{\sqrt{53}}^{2}

${\sqrt{53}}^{2}$ als

53

$53$ um.

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Schritt 4.2.6.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{53}

$\sqrt{53}$ als

53^{\frac{1}{2}}

$53^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{{(53^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{{(53^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.6.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{2}{2}}}

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 4.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}$

Schritt 4.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{53}}{53} \approx 0.96152394$