Trigonometrie Beispiele

$(\frac{2 \sqrt{30}}{11}, \frac{1}{11})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{2 \sqrt{30}}{11}, \frac{1}{11})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{2 \sqrt{30}}{11}, 0)$ und $(\frac{2 \sqrt{30}}{11}, \frac{1}{11})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{1}{11}$

Ankathete : $\frac{2 \sqrt{30}}{11}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{30}}{11}$ an.

$\sqrt{\frac{{(2 \sqrt{30})}^{2}}{11^{2}} + {(\frac{1}{11})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{30}$ an.

$\sqrt{\frac{2^{2} {\sqrt{30}}^{2}}{11^{2}} + {(\frac{1}{11})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4 {\sqrt{30}}^{2}}{11^{2}} + {(\frac{1}{11})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Schreibe ${\sqrt{30}}^{2}$ als $30$ um.

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Schritt 2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{30}$ als $30^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{4 {(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{11^{2}} + {(\frac{1}{11})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{11^{2}} + {(\frac{1}{11})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 30^{\frac{2}{2}}}{11^{2}} + {(\frac{1}{11})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 30^{\frac{2}{2}}}{11^{2}} + {(\frac{1}{11})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 30^{1}}{11^{2}} + {(\frac{1}{11})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 30}{11^{2}} + {(\frac{1}{11})}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 30}{121} + {(\frac{1}{11})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $30$ .

$\sqrt{\frac{120}{121} + {(\frac{1}{11})}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{11}$ an.

$\sqrt{\frac{120}{121} + \frac{1^{2}}{11^{2}}}$

Schritt 2.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{120}{121} + \frac{1}{11^{2}}}$

Schritt 2.3.5

Potenziere $11$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{120}{121} + \frac{1}{121}}$

Schritt 2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{120 + 1}{121}}$

Schritt 2.3.7

Addiere $120$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{121}{121}}$

Schritt 2.3.8

Dividiere $121$ durch $121$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.3.9

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{\frac{2 \sqrt{30}}{11}}{1}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{30}}{11}}{1}$

Schritt 4

Dividiere $\frac{2 \sqrt{30}}{11}$ durch $1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{30}}{11}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{30}}{11} \approx 0.99585919$