Trigonometrie Beispiele

$(- \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- \frac{1}{\sqrt{10}}, 0)$ und $(- \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{3}{\sqrt{10}}$

Ankathete : $- \frac{1}{\sqrt{10}}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sqrt{{(- (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}))}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 2.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{10^{1}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.3.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{10}}{10}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.5

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{10^{1}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.5.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{10}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.6

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{10}{100} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $100$ .

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$\sqrt{\frac{10 (1)}{100} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.2.1

Faktorisiere $10$ aus $100$ heraus.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.9.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})}^{2}}$

Schritt 2.9.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})}^{2}}$

Schritt 2.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Schritt 2.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})}^{2}}$

Schritt 2.9.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 2.9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Schritt 2.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Schritt 2.9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Schritt 2.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Schritt 2.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10^{1}})}^{2}}$

Schritt 2.9.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.10

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.10.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{{(3 \sqrt{10})}^{2}}{10^{2}}}$

Schritt 2.10.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{10}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Schritt 2.11.2

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 2.11.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Schritt 2.11.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Schritt 2.11.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Schritt 2.11.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.11.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Schritt 2.11.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{1}}{10^{2}}}$

Schritt 2.11.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10}{10^{2}}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.12.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10}{100}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{90}{100}}$

Schritt 2.12.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $90$ und $100$ .

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Schritt 2.12.3.1

Faktorisiere $10$ aus $90$ heraus.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 (9)}{100}}$

Schritt 2.12.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.12.3.2.1

Faktorisiere $10$ aus $100$ heraus.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10}}$

Schritt 2.12.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10}}$

Schritt 2.12.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9}{10}}$

Schritt 2.12.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + 9}{10}}$

Schritt 2.12.4.2

Addiere $1$ und $9$ .

$\sqrt{\frac{10}{10}}$

Schritt 2.12.4.3

Dividiere $10$ durch $10$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.12.4.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{- \frac{1}{\sqrt{10}}}{1}$ .

$\frac{- \frac{1}{\sqrt{10}}}{1}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Dividiere $- \frac{1}{\sqrt{10}}$ durch $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{10}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Schritt 4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10} \approx - 0.31622776$