Trigonometrie Beispiele

(- \frac{\sqrt{21}}{5}, - \frac{2}{5})

$(- \frac{\sqrt{21}}{5}, - \frac{2}{5})$

Schritt 1

Um den

cos (θ)

$\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten

(0, 0)

$(0, 0)$ und

(- \frac{\sqrt{21}}{5}, - \frac{2}{5})

$(- \frac{\sqrt{21}}{5}, - \frac{2}{5})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten

(0, 0)

$(0, 0)$ ,

(- \frac{\sqrt{21}}{5}, 0)

$(- \frac{\sqrt{21}}{5}, 0)$ und

(- \frac{\sqrt{21}}{5}, - \frac{2}{5})

$(- \frac{\sqrt{21}}{5}, - \frac{2}{5})$ .

Gegenüberliegend :

- \frac{2}{5}

$- \frac{2}{5}$

Ankathete :

- \frac{\sqrt{21}}{5}

$- \frac{\sqrt{21}}{5}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf

- \frac{\sqrt{21}}{5}

$- \frac{\sqrt{21}}{5}$ an.

\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{5})}^{2} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{5})}^{2} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf

\frac{\sqrt{21}}{5}

$\frac{\sqrt{21}}{5}$ an.

\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}$

\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

\sqrt{1 \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere

\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}}

$\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}}$ mit

1

$1$ .

\sqrt{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}

$\sqrt{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}$

\sqrt{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}

$\sqrt{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3

Schreibe

{\sqrt{21}}^{2}

${\sqrt{21}}^{2}$ als

21

$21$ um.

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Schritt 2.3.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{21}

$\sqrt{21}$ als

21^{\frac{1}{2}}

$21^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\sqrt{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}

$\sqrt{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}

$\sqrt{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\sqrt{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}

$\sqrt{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{21^{1}}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{21}{5^{2}} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere

$5$ mit

$2$ .

$\sqrt{\frac{21}{25} + {(- \frac{2}{5})}^{2}}$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.5.1

Wende die Produktregel auf

$- \frac{2}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{21}{25} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Wende die Produktregel auf

$\frac{2}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{21}{25} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6

Potenziere

$- 1$ mit

$2$ .

$\sqrt{\frac{21}{25} + 1 \frac{2^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere

$\frac{2^{2}}{5^{2}}$ mit

$1$ .

$\sqrt{\frac{21}{25} + \frac{2^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.8

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$\sqrt{\frac{21}{25} + \frac{4}{5^{2}}}$

Schritt 2.9

Potenziere

$5$ mit

$2$ .

$\sqrt{\frac{21}{25} + \frac{4}{25}}$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{21 + 4}{25}}$

Schritt 2.11

Addiere

$21$ und

$4$ .

$\sqrt{\frac{25}{25}}$

Schritt 2.12

Dividiere

$25$ durch

$25$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.13

Jede Wurzel von

$1$ ist

$1$ .

$1$

Schritt 3

Aus

$\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt

$\cos (θ) = \frac{- \frac{\sqrt{21}}{5}}{1}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{21}}{5}}{1}$

Schritt 4

Dividiere

$- \frac{\sqrt{21}}{5}$ durch

$1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{21}}{5}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{21}}{5} \approx - 0.91651513$