Trigonometrie Beispiele

3

$3$ ,

125 i

$125 i$

Schritt 1

Wurzeln sind die Punkte, wo der Graph die x-Achse schneidet

(y = 0)

$(y = 0)$ .

y = 0

$y = 0$ an den Wurzeln

Schritt 2

Die Wurzel bei

x = 3

$x = 3$ wurde durch Auflösen nach

x

$x$ bestimmt, wenn

x - (3) = y

$x - (3) = y$ und

y = 0

$y = 0$ .

Der Faktor ist

x - 3

$x - 3$

Schritt 3

Die Wurzel bei

x = 125 i

$x = 125 i$ wurde durch Auflösen nach

x

$x$ bestimmt, wenn

x - (125 i) = y

$x - (125 i) = y$ und

y = 0

$y = 0$ .

Der Faktor ist

x - 125 i

$x - 125 i$

Schritt 4

Die Wurzel bei

x = - 125 i

$x = - 125 i$ wurde durch Auflösen nach

x

$x$ bestimmt, wenn

x - (- 125 i) = y

$x - (- 125 i) = y$ und

y = 0

$y = 0$ .

Der Faktor ist

x + 125 i

$x + 125 i$

Schritt 5

Vereinige alle Faktoren in einer einzelnen Gleichung.

y = (x - 3) (x - 125 i) (x + 125 i)

$y = (x - 3) (x - 125 i) (x + 125 i)$

Schritt 6

Multipliziere alle Faktoren, um die Gleichung

y = (x - 3) (x - 125 i) (x + 125 i)

$y = (x - 3) (x - 125 i) (x + 125 i)$ zu vereinfachen.

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Schritt 6.1

Multipliziere

(x - 3) (x - 125 i)

$(x - 3) (x - 125 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

y = (x (x - 125 i) - 3 (x - 125 i)) (x + 125 i)

$y = (x (x - 125 i) - 3 (x - 125 i)) (x + 125 i)$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

y = (x \cdot x + x (- 125 i) - 3 (x - 125 i)) (x + 125 i)

$y = (x \cdot x + x (- 125 i) - 3 (x - 125 i)) (x + 125 i)$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

y = (x \cdot x + x (- 125 i) - 3 x - 3 (- 125 i)) (x + 125 i)

$y = (x \cdot x + x (- 125 i) - 3 x - 3 (- 125 i)) (x + 125 i)$

y = (x \cdot x + x (- 125 i) - 3 x - 3 (- 125 i)) (x + 125 i)

$y = (x \cdot x + x (- 125 i) - 3 x - 3 (- 125 i)) (x + 125 i)$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ .

y = (x^{2} + x (- 125 i) - 3 x - 3 (- 125 i)) (x + 125 i)

$y = (x^{2} + x (- 125 i) - 3 x - 3 (- 125 i)) (x + 125 i)$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere

- 125

$- 125$ mit

- 3

$- 3$ .

y = (x^{2} + x (- 125 i) - 3 x + 375 i) (x + 125 i)

$y = (x^{2} + x (- 125 i) - 3 x + 375 i) (x + 125 i)$

y = (x^{2} + x (- 125 i) - 3 x + 375 i) (x + 125 i)

$y = (x^{2} + x (- 125 i) - 3 x + 375 i) (x + 125 i)$

Schritt 6.3

Multipliziere

(x^{2} + x (- 125 i) - 3 x + 375 i) (x + 125 i)

$(x^{2} + x (- 125 i) - 3 x + 375 i) (x + 125 i)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

y = x^{2} x + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{2} x + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1

Multipliziere

x^{2}

$x^{2}$ mit

x

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.1.1

Mutltipliziere

x^{2}

$x^{2}$ mit

x

$x$ .

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Schritt 6.4.1.1.1.1

Potenziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

y = x^{2} x + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{2} x + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

y = x^{2 + 1} + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{2 + 1} + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

y = x^{2 + 1} + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{2 + 1} + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.1.2

Addiere

2

$2$ und

1

$1$ .

y = x^{3} + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

y = x^{3} + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.2

Bringe

125

$125$ auf die linke Seite von

x^{2}

$x^{2}$ .

y = x^{3} + 125 \cdot (x^{2} i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 \cdot (x^{2} i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.3

Multipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.3.1

Bewege

x

$x$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x \cdot x (- 125 i) + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x \cdot x (- 125 i) + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.3.2

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.4

Multipliziere

x (- 125 i) (125 i)

$x (- 125 i) (125 i)$ .

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Schritt 6.4.1.4.1

Mutltipliziere

125

$125$ mit

- 125

$- 125$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 i) i - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 i) i - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.4.2

Potenziere

i

$i$ mit

1

$1$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 (i i)) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 (i i)) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.4.3

Potenziere

i

$i$ mit

1

$1$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 (i i)) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 (i i)) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.4.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 i^{1 + 1}) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 i^{1 + 1}) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.4.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 i^{2}) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 i^{2}) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 i^{2}) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 i^{2}) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.5

Schreibe

i^{2}

$i^{2}$ als

- 1

$- 1$ um.

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 \cdot - 1) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 \cdot - 1) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.6

Mutltipliziere

- 15625

$- 15625$ mit

- 1

$- 1$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x \cdot 15625 - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x \cdot 15625 - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.7

Bringe

15625

$15625$ auf die linke Seite von

x

$x$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 \cdot x - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 \cdot x - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.8

Multipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.8.1

Bewege

x

$x$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 (x \cdot x) - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 (x \cdot x) - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.8.2

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.9

Mutltipliziere

125

$125$ mit

- 3

$- 3$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 375 i (125 i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 375 i (125 i)$

Schritt 6.4.1.10

Multipliziere

375 i (125 i)

$375 i (125 i)$ .

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Schritt 6.4.1.10.1

Mutltipliziere

125

$125$ mit

375

$375$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 i i

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 i i$

Schritt 6.4.1.10.2

Potenziere

i

$i$ mit

1

$1$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 (i i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 (i i)$

Schritt 6.4.1.10.3

Potenziere

i

$i$ mit

1

$1$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 (i i)

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 (i i)$

Schritt 6.4.1.10.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 i^{1 + 1}

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 i^{1 + 1}$

Schritt 6.4.1.10.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 i^{2}

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 i^{2}$

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 i^{2}

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 i^{2}$

Schritt 6.4.1.11

Schreibe

i^{2}

$i^{2}$ als

- 1

$- 1$ um.

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 \cdot - 1

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 \cdot - 1$

Schritt 6.4.1.12

Mutltipliziere

46875

$46875$ mit

- 1

$- 1$ .

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875$

y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875$

Schritt 6.4.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 6.4.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875

$x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen

125 x^{2} i

$125 x^{2} i$ und

x^{2} (- 125 i)

$x^{2} (- 125 i)$ neu an.

y = x^{3} + 125 i x^{2} - 125 i x^{2} + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875

$y = x^{3} + 125 i x^{2} - 125 i x^{2} + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875$

Schritt 6.4.2.1.2

Subtrahiere

125 i x^{2}

$125 i x^{2}$ von

125 i x^{2}

$125 i x^{2}$ .

y = x^{3} + 0 + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875

$y = x^{3} + 0 + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875$

Schritt 6.4.2.1.3

Addiere

x^{3}

$x^{3}$ und

0

$0$ .

y = x^{3} + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875

$y = x^{3} + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875$

Schritt 6.4.2.1.4

Ordne die Faktoren in den Termen

- 375 x i

$- 375 x i$ und

375 i x

$375 i x$ neu an.

y = x^{3} + 15625 x - 3 x^{2} - 375 i x + 375 i x - 46875

$y = x^{3} + 15625 x - 3 x^{2} - 375 i x + 375 i x - 46875$

Schritt 6.4.2.1.5

Addiere

- 375 i x

$- 375 i x$ und

375 i x

$375 i x$ .

y = x^{3} + 15625 x - 3 x^{2} + 0 - 46875

$y = x^{3} + 15625 x - 3 x^{2} + 0 - 46875$

Schritt 6.4.2.1.6

Addiere

x^{3} + 15625 x - 3 x^{2}

$x^{3} + 15625 x - 3 x^{2}$ und

0

$0$ .

y = x^{3} + 15625 x - 3 x^{2} - 46875

$y = x^{3} + 15625 x - 3 x^{2} - 46875$

y = x^{3} + 15625 x - 3 x^{2} - 46875

$y = x^{3} + 15625 x - 3 x^{2} - 46875$

Schritt 6.4.2.2

Bewege

15625 x

$15625 x$ .

y = x^{3} - 3 x^{2} + 15625 x - 46875

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 15625 x - 46875$

y = x^{3} - 3 x^{2} + 15625 x - 46875

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 15625 x - 46875$

y = x^{3} - 3 x^{2} + 15625 x - 46875

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 15625 x - 46875$

y = x^{3} - 3 x^{2} + 15625 x - 46875

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 15625 x - 46875$

Schritt 7