Trigonometrie Beispiele

f (x) = (x - 1) (x - \sqrt{7 i}) (x + \sqrt{7 i})

$f (x) = (x - 1) (x - \sqrt{7 i}) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 1

Multipliziere

$(x - 1) (x - \sqrt{7 i})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x (x - \sqrt{7 i}) - 1 (x - \sqrt{7 i})) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x \cdot x + x (- \sqrt{7 i}) - 1 (x - \sqrt{7 i})) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x \cdot x + x (- \sqrt{7 i}) - 1 x - 1 (- \sqrt{7 i})) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$f (x) = (x^{2} + x (- \sqrt{7 i}) - 1 x - 1 (- \sqrt{7 i})) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 2.2

Schreibe

$- 1 x$ als

$- x$ um.

$f (x) = (x^{2} + x (- \sqrt{7 i}) - x - 1 (- \sqrt{7 i})) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 2.3

Multipliziere

$- 1 (- \sqrt{7 i})$ .

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$f (x) = (x^{2} + x (- \sqrt{7 i}) - x + 1 \sqrt{7 i}) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere

$\sqrt{7 i}$ mit

$1$ .

$f (x) = (x^{2} + x (- \sqrt{7 i}) - x + \sqrt{7 i}) (x + \sqrt{7 i})$

Schritt 3

Multipliziere

$(x^{2} + x (- \sqrt{7 i}) - x + \sqrt{7 i}) (x + \sqrt{7 i})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x - x \sqrt{7 i} + \sqrt{7 i} x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$x^{2} x + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x - x \sqrt{7 i} + \sqrt{7 i} x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$ .

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Schritt 4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen

$- x \sqrt{7 i}$ und

$\sqrt{7 i} x$ neu an.

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x - x \sqrt{7 i} + x \sqrt{7 i} + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.1.2

Addiere

$- x \sqrt{7 i}$ und

$x \sqrt{7 i}$ .

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x + 0 + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.1.3

Addiere

$x^{2} x + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x$ und

$0$ .

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere

$x^{2}$ mit

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere

$x^{2}$ mit

$x$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Potenziere

$x$ mit

$1$ .

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = x^{2 + 1} + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.1.2

Addiere

$2$ und

$1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x (- \sqrt{7 i}) x + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.2

Multipliziere

$x$ mit

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1

Bewege

$x$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x \cdot x (- \sqrt{7 i}) + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i} - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.3

Multipliziere

$x (- \sqrt{7 i}) \sqrt{7 i}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Potenziere

$\sqrt{7 i}$ mit

$1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- (\sqrt{7 i} \sqrt{7 i})) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.3.2

Potenziere

$\sqrt{7 i}$ mit

$1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- (\sqrt{7 i} \sqrt{7 i})) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.3.3

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- {\sqrt{7 i}}^{1 + 1}) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.3.4

Addiere

$1$ und

$1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- {\sqrt{7 i}}^{2}) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.4

Schreibe

${\sqrt{7 i}}^{2}$ als

$7 i$ um.

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Schritt 4.2.4.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{7 i}$ als

${(7 i)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- {({(7 i)}^{\frac{1}{2}})}^{2}) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- {(7 i)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.4.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- {(7 i)}^{\frac{2}{2}}) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 4.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- {(7 i)}^{\frac{2}{2}}) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- (7 i)) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.4.5

Vereinfache.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- (7 i)) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere

$7$ mit

$- 1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x \cdot x + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.6

Multipliziere

$x$ mit

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.6.1

Bewege

$x$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - (x \cdot x) + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.6.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{7 i} \sqrt{7 i}$

Schritt 4.2.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{7 i (7 i)}$

Schritt 4.2.8

Mutltipliziere

$7$ mit

$7$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{49 i i}$

Schritt 4.2.9

Potenziere

$i$ mit

$1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{49 (i i)}$

Schritt 4.2.10

Potenziere

$i$ mit

$1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{49 (i i)}$

Schritt 4.2.11

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{49 i^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.12

Addiere

$1$ und

$1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{49 i^{2}}$

Schritt 4.2.13

Schreibe

$i^{2}$ als

$- 1$ um.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{49 \cdot - 1}$

Schritt 4.2.14

Mutltipliziere

$49$ mit

$- 1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{- 49}$

Schritt 4.2.15

Schreibe

$- 49$ als

$- 1 (49)$ um.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{- 1 \cdot 49}$

Schritt 4.2.16

Schreibe

$\sqrt{- 1 (49)}$ als

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ um.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Schritt 4.2.17

Schreibe

$\sqrt{- 1}$ als

$i$ um.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + i \cdot \sqrt{49}$

Schritt 4.2.18

Schreibe

$49$ als

$7^{2}$ um.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Schritt 4.2.19

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + i \cdot 7$

Schritt 4.2.20

Bringe

$7$ auf die linke Seite von

$i$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + 7 i$

Schritt 4.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} + x^{2} (- \sqrt{7 i}) + x (- 7 i) - x^{2} + 7 i$ .

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Schritt 4.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen

$x^{2} \sqrt{7 i}$ und

$x^{2} (- \sqrt{7 i})$ neu an.

$f (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{7 i} - x^{2} \sqrt{7 i} + x (- 7 i) - x^{2} + 7 i$

Schritt 4.3.1.2

Subtrahiere

$x^{2} \sqrt{7 i}$ von

$x^{2} \sqrt{7 i}$ .

$f (x) = x^{3} + 0 + x (- 7 i) - x^{2} + 7 i$

Schritt 4.3.1.3

Addiere

$x^{3}$ und

$0$ .

$f (x) = x^{3} + x (- 7 i) - x^{2} + 7 i$

Schritt 4.3.2

Stelle die Faktoren in

$x^{3} + x (- 7 i) - x^{2} + 7 i$ um.

$f (x) = x^{3} - 7 x i - x^{2} + 7 i$

Schritt 5