Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{17}{6} x - 19$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{17}{6} x - 19$ als Gleichung.

$y = \frac{17}{6} x - 19$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{17}{6} y - 19$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{17}{6} y - 19 = x$ um.

$\frac{17}{6} y - 19 = x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{17}{6}$ und $y$ .

$\frac{17 y}{6} - 19 = x$

Schritt 3.3

Addiere $19$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{17 y}{6} = x + 19$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{6}{17}$ .

$\frac{6}{17} \cdot \frac{17 y}{6} = \frac{6}{17} (x + 19)$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $\frac{6}{17} \cdot \frac{17 y}{6}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{17} \cdot \frac{17 y}{6} = \frac{6}{17} (x + 19)$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{17} (17 y) = \frac{6}{17} (x + 19)$

Schritt 3.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Faktorisiere $17$ aus $17 y$ heraus.

$\frac{1}{17} (17 (y)) = \frac{6}{17} (x + 19)$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{17} (17 y) = \frac{6}{17} (x + 19)$

Schritt 3.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{6}{17} (x + 19)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $\frac{6}{17} (x + 19)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6}{17} x + \frac{6}{17} \cdot 19$

Schritt 3.5.2.1.2

Kombiniere $\frac{6}{17}$ und $x$ .

$y = \frac{6 x}{17} + \frac{6}{17} \cdot 19$

Schritt 3.5.2.1.3

Multipliziere $\frac{6}{17} \cdot 19$ .

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Schritt 3.5.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{6}{17}$ und $19$ .

$y = \frac{6 x}{17} + \frac{6 \cdot 19}{17}$

Schritt 3.5.2.1.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $19$ .

$y = \frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{17}{6} x - 19$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{17}{6} x - 19)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{17}{6} x - 19) = \frac{6 (\frac{17}{6} x - 19)}{17} + \frac{114}{17}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{17}{6} x - 19) = \frac{6 (\frac{17}{6} x - 19) + 114}{17}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $\frac{17}{6}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{17}{6} x - 19) = \frac{6 (\frac{17 x}{6} - 19) + 114}{17}$

Schritt 5.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{17}{6} x - 19) = \frac{6 (\frac{17 x}{6}) + 6 \cdot - 19 + 114}{17}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{17}{6} x - 19) = \frac{6 (\frac{17 x}{6}) + 6 \cdot - 19 + 114}{17}$

Schritt 5.2.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{17}{6} x - 19) = \frac{17 x + 6 \cdot - 19 + 114}{17}$

Schritt 5.2.4.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 19$ .

$f^{- 1} (\frac{17}{6} x - 19) = \frac{17 x - 114 + 114}{17}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $17 x - 114 + 114$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 114$ und $114$ .

$f^{- 1} (\frac{17}{6} x - 19) = \frac{17 x + 0}{17}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $17 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{17}{6} x - 19) = \frac{17 x}{17}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{17}{6} x - 19) = \frac{17 x}{17}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{17}{6} x - 19) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}) = \frac{17}{6} \cdot (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}) - 19$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}) = \frac{17}{6} \cdot \frac{6 x}{17} + \frac{17}{6} \cdot \frac{114}{17} - 19$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}) = \frac{17}{6} \cdot \frac{6 x}{17} + \frac{17}{6} \cdot \frac{114}{17} - 19$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}) = \frac{1}{6} \cdot (6 x) + \frac{17}{6} \cdot \frac{114}{17} - 19$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$f (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}) = \frac{1}{6} \cdot (6 (x)) + \frac{17}{6} \cdot \frac{114}{17} - 19$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}) = \frac{1}{6} \cdot (6 x) + \frac{17}{6} \cdot \frac{114}{17} - 19$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}) = x + \frac{17}{6} \cdot \frac{114}{17} - 19$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}) = x + \frac{17}{6} \cdot \frac{114}{17} - 19$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}) = x + \frac{1}{6} \cdot 114 - 19$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $6$ aus $114$ heraus.

$f (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}) = x + \frac{1}{6} \cdot (6 (19)) - 19$

Schritt 5.3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}) = x + \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 19) - 19$

Schritt 5.3.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}) = x + 19 - 19$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 19 - 19$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $19$ von $19$ .

$f (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{17}{6} x - 19$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{17} + \frac{114}{17}$