Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$ als Gleichung.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{4}{3} y + \frac{8}{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{4}{3} y + \frac{8}{3} = x$ um.

$- \frac{4}{3} y + \frac{8}{3} = x$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{y \cdot 4}{3} + \frac{8}{3} = x$

Schritt 3.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$- \frac{4 y}{3} + \frac{8}{3} = x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $\frac{8}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{4 y}{3} = x - \frac{8}{3}$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} (- \frac{4 y}{3}) = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $- \frac{3}{4} (- \frac{4 y}{3})$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{4} (- \frac{4 y}{3}) = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 y}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 4 y}{3} = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Schritt 3.5.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 y}{3} = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Schritt 3.5.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 y}{3} = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Schritt 3.5.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{4} (- 4 y) = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Schritt 3.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y$ heraus.

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Schritt 3.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Schritt 3.5.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.5.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Schritt 3.5.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $- \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} (- \frac{8}{3})$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} (- \frac{8}{3})$

Schritt 3.5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} (- \frac{8}{3})$

Schritt 3.5.2.1.1.3.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{3}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 8}{3}$

Schritt 3.5.2.1.1.3.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 8}{3}$

Schritt 3.5.2.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 8}{3}$

Schritt 3.5.2.1.1.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot - 8$

Schritt 3.5.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- 2))$

Schritt 3.5.2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 \cdot - 2)$

Schritt 3.5.2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - - 2$

Schritt 3.5.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 2$

Schritt 3.5.2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{4} + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{4} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3})}{4} + 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (- \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{8}{3})}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (- \frac{4 \cdot x}{3} + \frac{8}{3})}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (\frac{- 4 x + 8}{3})}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x + 8$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (\frac{4 (- x) + 8}{3})}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.4.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (\frac{4 (- x) + 4 (2)}{3})}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (2)$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (\frac{4 (- x + 2)}{3})}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{4 (- x + 2)}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{3 (4 (- x + 2))}{3}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{12 (- x + 2)}{3}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{12 (- x + 2)}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12 (- x + 2)$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{3 (4 (- x + 2))}{3}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{3 (4 (- x + 2))}{3 (1)}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{3 (4 (- x + 2))}{3 \cdot 1}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{4 (- x + 2)}{1}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.4.2

Dividiere $4 (- x + 2)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{4 (- x + 2)}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{4 (- x + 2)}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.5.2

Dividiere $- x + 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - (- x + 2) + 2$

Schritt 5.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = x - 1 \cdot 2 + 2$

Schritt 5.2.3.7

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.2.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = 1 x - 1 \cdot 2 + 2$

Schritt 5.2.3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = x - 1 \cdot 2 + 2$

Schritt 5.2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{3 x}{4} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{3 x}{4} + 2) + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{3 x}{4}) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{- 4}{3} \cdot (- \frac{3 x}{4}) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.3.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 3 x}{4} - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 x}{4} - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 x}{4} - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{- 1}{3} \cdot (- 3 x) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = - 1 (- x) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = 1 x - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.3.6

Multipliziere $- \frac{4}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x - 2 (\frac{4}{3}) + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.3.6.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x + \frac{- 2 \cdot 4}{3} + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.3.6.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x + \frac{- 8}{3} + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x - \frac{8}{3} + \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - \frac{8}{3} + \frac{8}{3}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- \frac{8}{3}$ und $\frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{4} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{4} + 2$