Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{3 x - 4}{9}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3 x - 4}{9}$ als Gleichung.

$y = \frac{3 x - 4}{9}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3 y - 4}{9}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 y - 4}{9} = x$ um.

$\frac{3 y - 4}{9} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $9$ .

$\frac{3 y - 4}{9} \cdot 9 = x \cdot 9$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y - 4}{9} \cdot 9 = x \cdot 9$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y - 4 = x \cdot 9$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 y - 4 = 9 x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 9 x + 4$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 9 x + 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 9 x + 4$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{9 x}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{9 x}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{9 x}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x$ heraus.

$y = \frac{3 (3 x)}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y = \frac{3 (3 x)}{3 (1)} + \frac{4}{3}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 (3 x)}{3 \cdot 1} + \frac{4}{3}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 x}{1} + \frac{4}{3}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.4

Dividiere $3 x$ durch $1$ .

$y = 3 x + \frac{4}{3}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 3 x + \frac{4}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 3 x + \frac{4}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3 x - 4}{9}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{9})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{9}) = 3 (\frac{3 x - 4}{9}) + \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{9}) = 3 (\frac{3 x - 4}{3 (3)}) + \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{9}) = 3 (\frac{3 x - 4}{3 \cdot 3}) + \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{9}) = \frac{3 x - 4}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{9}) = \frac{3 x - 4 + 4}{3}$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x - 4 + 4$ .

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{9}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{9}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{9}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 4}{9}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (3 x + \frac{4}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (3 x + \frac{4}{3}) = \frac{3 (3 x + \frac{4}{3}) - 4}{9}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (3 x + \frac{4}{3}) = \frac{3 (3 x) + 3 (\frac{4}{3}) - 4}{9}$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (3 x + \frac{4}{3}) = \frac{9 x + 3 (\frac{4}{3}) - 4}{9}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3 x + \frac{4}{3}) = \frac{9 x + 3 (\frac{4}{3}) - 4}{9}$

Schritt 5.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (3 x + \frac{4}{3}) = \frac{9 x + 4 - 4}{9}$

Schritt 5.3.3.4

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (3 x + \frac{4}{3}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Schritt 5.3.3.5

Addiere $9 x$ und $0$ .

$f (3 x + \frac{4}{3}) = \frac{9 x}{9}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3 x + \frac{4}{3}) = \frac{9 x}{9}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (3 x + \frac{4}{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 3 x + \frac{4}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3 x - 4}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = 3 x + \frac{4}{3}$