Trigonometrie Beispiele

$g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$

Schritt 1

Schreibe $g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$ als Gleichung.

$y = \frac{x^{3}}{8} + 16$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y^{3}}{8} + 16$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{3}}{8} + 16 = x$ um.

$\frac{y^{3}}{8} + 16 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{3}}{8} = x - 16$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $8$ .

$8 \frac{y^{3}}{8} = 8 (x - 16)$

Schritt 3.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{y^{3}}{8} = 8 (x - 16)$

Schritt 3.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 8 (x - 16)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $8 (x - 16)$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 8 x + 8 \cdot - 16$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 16$ .

$y^{3} = 8 x - 128$

Schritt 3.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{8 x - 128}$

Schritt 3.6

Vereinfache $\sqrt[3]{8 x - 128}$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x - 128$ heraus.

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Schritt 3.6.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$y = \sqrt[3]{8 (x) - 128}$

Schritt 3.6.1.2

Faktorisiere $8$ aus $- 128$ heraus.

$y = \sqrt[3]{8 x + 8 \cdot - 16}$

Schritt 3.6.1.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 8 \cdot - 16$ heraus.

$y = \sqrt[3]{8 (x - 16)}$

Schritt 3.6.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{2^{3} (x - 16)}$

Schritt 3.6.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = 2 \sqrt[3]{x - 16}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $g^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$ die Umkehrfunktion von $g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $g^{- 1} (g (x)) = x$ ist und $g (g^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $g^{- 1} (g (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$g^{- 1} (g (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16)$ durch Einsetzen des Wertes von $g$ in $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{(\frac{x^{3}}{8} + 16) - 16}$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8} + 0}$

Schritt 5.2.4

Addiere $\frac{x^{3}}{8}$ und $0$ .

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8}}$

Schritt 5.2.5

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{2^{3}}}$

Schritt 5.2.6

Schreibe $\frac{x^{3}}{2^{3}}$ als ${(\frac{x}{2})}^{3}$ um.

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{{(\frac{x}{2})}^{3}}$

Schritt 5.2.7

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 5.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = x$

Schritt 5.3

Berechne $g (g^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$g (g^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $g (2 \sqrt[3]{x - 16})$ durch Einsetzen des Wertes von $g^{- 1}$ in $g$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x - 16})}^{3}}{8} + 16$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[3]{x - 16}$ an.

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{2^{3} {\sqrt[3]{x - 16}}^{3}}{8} + 16$

Schritt 5.3.3.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {\sqrt[3]{x - 16}}^{3}}{8} + 16$

Schritt 5.3.3.1.3

Schreibe ${\sqrt[3]{x - 16}}^{3}$ als $x - 16$ um.

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 16}$ als ${(x - 16)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {({(x - 16)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{8} + 16$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {(x - 16)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{8} + 16$

Schritt 5.3.3.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {(x - 16)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 16$

Schritt 5.3.3.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {(x - 16)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 16$

Schritt 5.3.3.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 (x - 16)}{8} + 16$

Schritt 5.3.3.1.3.5

Vereinfache.

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 (x - 16)}{8} + 16$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 (x - 16)}{8} + 16$

Schritt 5.3.3.2.2

Dividiere $x - 16$ durch $1$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = x - 16 + 16$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 16 + 16$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 16$ und $16$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = x$

Schritt 5.4

Da $g^{- 1} (g (x)) = x$ und $g (g^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$ .

$g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$