Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 3^{x} - 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3^{x} - 1$ als Gleichung.

$y = 3^{x} - 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3^{y} - 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3^{y} - 1 = x$ um.

$3^{y} - 1 = x$

Schritt 3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3^{y} = x + 1$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{y}) = \ln (x + 1)$

Schritt 3.4

Zerlege $\ln (3^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (3) = \ln (x + 1)$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (3) = \ln (x + 1)$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (3) = \ln (x + 1)$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3^{x} - 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3^{x} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln ((3^{x} - 1) + 1)}{\ln (3)}$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3^{x} - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $3^{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Schritt 5.2.4

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}} - 1$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x + 1)} - 1$

Schritt 5.3.3.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x + 1 - 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3^{x} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$