Trigonometrie Beispiele

$16 x^{2} + 25 y^{2} - 64 x - 336 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Addiere $336$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} + 25 y^{2} - 64 x = 336$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $16 x^{2} - 64 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 16$

$b = - 64$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 64}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 64$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 64$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 16$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (16)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 32}{16}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 32$ und $16$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $- 32$ heraus.

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 64$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4096$ durch $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$e = 0 - 64$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $64$ von $0$ .

$e = - 64$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ ein.

$16 {(x - 2)}^{2} - 64$

Schritt 1.3

Setze $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ für $16 x^{2} - 64 x$ ein in der Gleichung $16 x^{2} + 25 y^{2} - 64 x = 336$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 64 + 25 y^{2} = 336$

Schritt 1.4

Bringe $- 64$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $64$ auf beiden Seiten.

$16 {(x - 2)}^{2} + 25 y^{2} = 336 + 64$

Schritt 1.5

Addiere $336$ und $64$ .

$16 {(x - 2)}^{2} + 25 y^{2} = 400$

Schritt 1.6

Teile jeden Term durch $400$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{16 {(x - 2)}^{2}}{400} + \frac{25 y^{2}}{400} = \frac{400}{400}$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 5$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 2$

Schritt 4

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(4)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\sqrt{25 - 16}$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere $16$ von $25$ .

$\sqrt{9}$

Schritt 4.3.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2}}$

Schritt 4.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3$

Schritt 5

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 5.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(2 + 3, 0)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$(5, 0)$

Schritt 5.4

Der zweite Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 5.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(2 - (3), 0)$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$(- 1, 0)$

Schritt 5.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(5, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(5, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

Schritt 6