Trigonometrie Beispiele

$25 x^{2} + 4 y^{2} + 100 x = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $25 x^{2} + 100 x$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 25$

$b = 100$

$c = 0$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{100}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $100$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 25$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (25)}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{50}{25}$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $25$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot 2}{25}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 (1)}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $100$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Dividiere $10000$ durch $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Schritt 1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $100$ .

$e = 0 - 100$

Schritt 1.1.4.2.2

Subtrahiere $100$ von $0$ .

$e = - 100$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ ein.

$25 {(x + 2)}^{2} - 100$

Schritt 1.2

Setze $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ für $25 x^{2} + 100 x$ ein in der Gleichung $25 x^{2} + 4 y^{2} + 100 x = 0$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100 + 4 y^{2} = 0$

Schritt 1.3

Bringe $- 100$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $100$ auf beiden Seiten.

$25 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} = 0 + 100$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} = 100$

Schritt 1.5

Teile jeden Term durch $100$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{25 {(x + 2)}^{2}}{100} + \frac{4 y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 5$

$b = 2$

$k = 0$

$h = - 2$

Schritt 4

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{25 - {(2)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 4}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\sqrt{25 - 4}$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere $4$ von $25$ .

$\sqrt{21}$

Schritt 5

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 5.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 2, 0 + \sqrt{21})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$(- 2, \sqrt{21})$

Schritt 5.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 5.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 2, 0 - (\sqrt{21}))$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$(- 2, - \sqrt{21})$

Schritt 5.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(- 2, \sqrt{21})$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, - \sqrt{21})$

${Focus}_{1}$ : $(- 2, \sqrt{21})$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, - \sqrt{21})$

Schritt 6