Trigonometrie Beispiele

$25 x^{2} + 36 y^{2} - 350 x + 325 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $325$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 x^{2} + 36 y^{2} - 350 x = - 325$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $25 x^{2} - 350 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 25$

$b = - 350$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 350}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 350$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 350$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 175}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 25$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 175}{2 (25)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 175}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 175}{25}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 175$ und $25$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $- 175$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot - 7}{25}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot - 7}{25 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{25 \cdot - 7}{25 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 7}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 7$ durch $1$ .

$d = - 7$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 350)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 350$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{122500}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$e = 0 - \frac{122500}{100}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $122500$ durch $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 1225$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1225$ .

$e = 0 - 1225$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $1225$ von $0$ .

$e = - 1225$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $25 {(x - 7)}^{2} - 1225$ ein.

$25 {(x - 7)}^{2} - 1225$

Schritt 1.3

Setze $25 {(x - 7)}^{2} - 1225$ für $25 x^{2} - 350 x$ ein in der Gleichung $25 x^{2} + 36 y^{2} - 350 x = - 325$ .

$25 {(x - 7)}^{2} - 1225 + 36 y^{2} = - 325$

Schritt 1.4

Bringe $- 1225$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1225$ auf beiden Seiten.

$25 {(x - 7)}^{2} + 36 y^{2} = - 325 + 1225$

Schritt 1.5

Addiere $- 325$ und $1225$ .

$25 {(x - 7)}^{2} + 36 y^{2} = 900$

Schritt 1.6

Teile jeden Term durch $900$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{25 {(x - 7)}^{2}}{900} + \frac{36 y^{2}}{900} = \frac{900}{900}$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 7)}^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 6$

$b = 5$

$k = 0$

$h = 7$

Schritt 4

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{36 - {(5)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 25}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$\sqrt{36 - 25}$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere $25$ von $36$ .

$\sqrt{11}$

Schritt 5

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 5.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(7 + \sqrt{11}, 0)$

Schritt 5.3

Der zweite Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 5.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(7 - (\sqrt{11}), 0)$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$(7 - \sqrt{11}, 0)$

Schritt 5.6

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(7 + \sqrt{11}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(7 - \sqrt{11}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(7 + \sqrt{11}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(7 - \sqrt{11}, 0)$

Schritt 6