Trigonometrie Beispiele

4 x^{2} + y^{2} = 144

$4 x^{2} + y^{2} = 144$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Teile jeden Term durch

144

$144$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

\frac{4 x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{144} = \frac{144}{144}

$\frac{4 x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich

1

$1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich

1

$1$ ist.

\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{144} = 1

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{144} = 1$

\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{144} = 1

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{144} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable

a

$a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar,

b

$b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse,

h

$h$ das x-Offset vom Ursprung und

k

$k$ das y-Offset vom Ursprung.

a = 12

$a = 12$

b = 6

$b = 6$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Schritt 4

Berechne

c

$c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in der Formel.

\sqrt{{(12)}^{2} - {(6)}^{2}}

$\sqrt{{(12)}^{2} - {(6)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Potenziere

12

$12$ mit

2

$2$ .

\sqrt{144 - {(6)}^{2}}

$\sqrt{144 - {(6)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere

6

$6$ mit

2

$2$ .

\sqrt{144 - 1 \cdot 36}

$\sqrt{144 - 1 \cdot 36}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

36

$36$ .

\sqrt{144 - 36}

$\sqrt{144 - 36}$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere

36

$36$ von

144

$144$ .

\sqrt{108}

$\sqrt{108}$

Schritt 4.3.5

Schreibe

108

$108$ als

6^{2} \cdot 3

$6^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere

36

$36$ aus

108

$108$ heraus.

\sqrt{36 (3)}

$\sqrt{36 (3)}$

Schritt 4.3.5.2

Schreibe

36

$36$ als

6^{2}

$6^{2}$ um.

\sqrt{6^{2} \cdot 3}

$\sqrt{6^{2} \cdot 3}$

\sqrt{6^{2} \cdot 3}

$\sqrt{6^{2} \cdot 3}$

Schritt 4.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

6 \sqrt{3}

$6 \sqrt{3}$

6 \sqrt{3}

$6 \sqrt{3}$

6 \sqrt{3}

$6 \sqrt{3}$

Schritt 5

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 5.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von

c

$c$ zu

k

$k$ gefunden werden.

(h, k + c)

$(h, k + c)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von

h

$h$ ,

c

$c$ und

k

$k$ in die Formel ein.

(0, 0 + 6 \sqrt{3})

$(0, 0 + 6 \sqrt{3})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

(0, 6 \sqrt{3})

$(0, 6 \sqrt{3})$

Schritt 5.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von

c

$c$ von

k

$k$ gefunden werden.

(h, k - c)

$(h, k - c)$

Schritt 5.5

Setze die bekannten Werte von

h

$h$ ,

c

$c$ und

k

$k$ in die Formel ein.

(0, 0 - (6 \sqrt{3}))

$(0, 0 - (6 \sqrt{3}))$

Schritt 5.6

Vereinfache.

(0, - 6 \sqrt{3})

$(0, - 6 \sqrt{3})$

Schritt 5.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(0, 6 \sqrt{3})

$(0, 6 \sqrt{3})$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(0, - 6 \sqrt{3})

$(0, - 6 \sqrt{3})$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(0, 6 \sqrt{3})

$(0, 6 \sqrt{3})$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(0, - 6 \sqrt{3})

$(0, - 6 \sqrt{3})$

Schritt 6