Trigonometrie Beispiele

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y + 18 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 x^{2} - 36 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 36$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 18}{9}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $9$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 18$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $1296$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$e = 0 - 36$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $36$ von $0$ .

$e = - 36$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ ein.

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Schritt 1.3

Setze $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ für $9 x^{2} - 36 x$ ein in der Gleichung $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - y^{2} - 6 y = - 18$

Schritt 1.4

Bringe $- 36$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $36$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = - 18 + 36$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- y^{2} - 6 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Schritt 1.5.3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 3$ als $- - 3$ um.

$d = - - 3$

Schritt 1.5.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$d = 3$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $36$ durch $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Schritt 1.5.4.2.2

Addiere $0$ und $9$ .

$e = 9$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(y + 3)}^{2} + 9$ ein.

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

Schritt 1.6

Setze $- {(y + 3)}^{2} + 9$ für $- y^{2} - 6 y$ ein in der Gleichung $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = - 18 + 36$

Schritt 1.7

Bringe $9$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $9$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = - 18 + 36 - 9$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 18 + 36 - 9$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $- 18$ und $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 18 - 9$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $9$ von $18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $9$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 1$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

Schritt 4

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{1 + 9}$

Schritt 4.3.3

Addiere $1$ und $9$ .

$\sqrt{10}$

Schritt 5

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 5.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2 + \sqrt{10}, - 3)$

Schritt 5.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 5.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2 - \sqrt{10}, - 3)$

Schritt 5.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(2 + \sqrt{10}, - 3), (2 - \sqrt{10}, - 3)$

Schritt 6