Trigonometrie Beispiele

\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{81} = 1

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{81} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich

1

$1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich

1

$1$ ist.

\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{81} = 1

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{81} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable

a

$a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar,

b

$b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse,

h

$h$ das x-Offset vom Ursprung und

k

$k$ das y-Offset vom Ursprung.

a = 9

$a = 9$

b = 7

$b = 7$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Schritt 4

Berechne

c

$c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in der Formel.

\sqrt{{(9)}^{2} - {(7)}^{2}}

$\sqrt{{(9)}^{2} - {(7)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Potenziere

9

$9$ mit

2

$2$ .

\sqrt{81 - {(7)}^{2}}

$\sqrt{81 - {(7)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere

7

$7$ mit

2

$2$ .

\sqrt{81 - 1 \cdot 49}

$\sqrt{81 - 1 \cdot 49}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

49

$49$ .

\sqrt{81 - 49}

$\sqrt{81 - 49}$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere

49

$49$ von

81

$81$ .

\sqrt{32}

$\sqrt{32}$

Schritt 4.3.5

Schreibe

32

$32$ als

4^{2} \cdot 2

$4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere

16

$16$ aus

32

$32$ heraus.

\sqrt{16 (2)}

$\sqrt{16 (2)}$

Schritt 4.3.5.2

Schreibe

16

$16$ als

4^{2}

$4^{2}$ um.

\sqrt{4^{2} \cdot 2}

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

\sqrt{4^{2} \cdot 2}

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

4 \sqrt{2}

$4 \sqrt{2}$

4 \sqrt{2}

$4 \sqrt{2}$

4 \sqrt{2}

$4 \sqrt{2}$

Schritt 5

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 5.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von

c

$c$ zu

k

$k$ gefunden werden.

(h, k + c)

$(h, k + c)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von

h

$h$ ,

c

$c$ und

k

$k$ in die Formel ein.

(0, 0 + 4 \sqrt{2})

$(0, 0 + 4 \sqrt{2})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

(0, 4 \sqrt{2})

$(0, 4 \sqrt{2})$

Schritt 5.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von

c

$c$ von

k

$k$ gefunden werden.

(h, k - c)

$(h, k - c)$

Schritt 5.5

Setze die bekannten Werte von

h

$h$ ,

c

$c$ und

k

$k$ in die Formel ein.

(0, 0 - (4 \sqrt{2}))

$(0, 0 - (4 \sqrt{2}))$

Schritt 5.6

Vereinfache.

(0, - 4 \sqrt{2})

$(0, - 4 \sqrt{2})$

Schritt 5.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(0, 4 \sqrt{2})

$(0, 4 \sqrt{2})$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(0, - 4 \sqrt{2})

$(0, - 4 \sqrt{2})$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(0, 4 \sqrt{2})

$(0, 4 \sqrt{2})$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(0, - 4 \sqrt{2})

$(0, - 4 \sqrt{2})$

Schritt 6