Trigonometrie Beispiele

$\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{11} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{11} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = \sqrt{11}$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\sqrt{11})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

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Schritt 4.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{11^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{11^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{11^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{11^{1} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{11 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{11 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{11 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{11 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{11 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{11 - 5^{1}}$

Schritt 4.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{11 - 1 \cdot 5}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\sqrt{11 - 5}$

Schritt 4.3.3.2

Subtrahiere $5$ von $11$ .

$\sqrt{6}$

Schritt 5

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 5.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + \sqrt{6})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$(0, \sqrt{6})$

Schritt 5.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 5.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (\sqrt{6}))$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$(0, - \sqrt{6})$

Schritt 5.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{6})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{6})$

Schritt 6