Trigonometrie Beispiele

$p (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} - 21 x^{2} + 70 x$

Schritt 1

Setze $3 x^{5} - 10 x^{4} - 21 x^{2} + 70 x$ gleich $0$ .

$3 x^{5} - 10 x^{4} - 21 x^{2} + 70 x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{5} - 10 x^{4} - 21 x^{2} + 70 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{5}$ heraus.

$x (3 x^{4}) - 10 x^{4} - 21 x^{2} + 70 x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 10 x^{4}$ heraus.

$x (3 x^{4}) + x (- 10 x^{3}) - 21 x^{2} + 70 x = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 21 x^{2}$ heraus.

$x (3 x^{4}) + x (- 10 x^{3}) + x (- 21 x) + 70 x = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $70 x$ heraus.

$x (3 x^{4}) + x (- 10 x^{3}) + x (- 21 x) + x \cdot 70 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x^{4}) + x (- 10 x^{3})$ heraus.

$x (3 x^{4} - 10 x^{3}) + x (- 21 x) + x \cdot 70 = 0$

Schritt 2.1.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x^{4} - 10 x^{3}) + x (- 21 x)$ heraus.

$x (3 x^{4} - 10 x^{3} - 21 x) + x \cdot 70 = 0$

Schritt 2.1.1.7

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x^{4} - 10 x^{3} - 21 x) + x \cdot 70$ heraus.

$x (3 x^{4} - 10 x^{3} - 21 x + 70) = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((3 x^{4} - 10 x^{3}) - 21 x + 70) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x^{3} (3 x - 10) - 7 (3 x - 10)) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 10$ .

$x ((3 x - 10) (x^{3} - 7)) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (3 x - 10) (x^{3} - 7) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 x - 10 = 0$

$x^{3} - 7 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $3 x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $3 x - 10$ gleich $0$ .

$3 x - 10 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $3 x - 10 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 10$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 10$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 10$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Schritt 2.5

Setze $x^{3} - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{3} - 7$ gleich $0$ .

$x^{3} - 7 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{3} - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 7$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{7}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (3 x - 10) (x^{3} - 7) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{10}{3}, \sqrt[3]{7}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, \frac{10}{3}, \sqrt[3]{7}$

Dezimalform:

$x = 0, 3.\overline{3}, 1.91293118 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 0, 3 \frac{1}{3}, \sqrt[3]{7}$

Schritt 4