Trigonometrie Beispiele

$2 θ f o r θ = \frac{π}{4}$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Potenziere $θ$ mit $1$ .

$2 f o r (θ^{1} θ) = \frac{π}{4}$

Schritt 1.2

Potenziere $θ$ mit $1$ .

$2 f o r (θ^{1} θ^{1}) = \frac{π}{4}$

Schritt 1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 f o r θ^{1 + 1} = \frac{π}{4}$

Schritt 1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 f o r θ^{2} = \frac{π}{4}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 f o r θ^{2} = \frac{π}{4}$ durch $2 f o r$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 f o r θ^{2} = \frac{π}{4}$ durch $2 f o r$ .

$\frac{2 f o r θ^{2}}{2 f o r} = \frac{\frac{π}{4}}{2 f o r}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 f o r θ^{2}}{2 f o r} = \frac{\frac{π}{4}}{2 f o r}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{f o r θ^{2}}{f o r} = \frac{\frac{π}{4}}{2 f o r}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f o r θ^{2}}{f o r} = \frac{\frac{π}{4}}{2 f o r}$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{o r θ^{2}}{o r} = \frac{\frac{π}{4}}{2 f o r}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $o$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{o r θ^{2}}{o r} = \frac{\frac{π}{4}}{2 f o r}$

Schritt 2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r θ^{2}}{r} = \frac{\frac{π}{4}}{2 f o r}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r θ^{2}}{r} = \frac{\frac{π}{4}}{2 f o r}$

Schritt 2.2.4.2

Dividiere $θ^{2}$ durch $1$ .

$θ^{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2 f o r}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ^{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2 f o r}$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2 f o r}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{2 f o r}$ .

$θ^{2} = \frac{π}{4 (2 f o r)}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$θ^{2} = \frac{π}{8 (f o r)}$

$θ^{2} = \frac{π}{8 f o r}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$θ = \pm \sqrt{\frac{π}{8 f o r}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{π}{8 f o r}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{π}{8 f o r}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{π}{2 f o r}$ um.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $π$ heraus.

$θ = \pm \sqrt{\frac{1^{2} π}{8 f o r}}$

Schritt 4.1.2

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} π}{2^{2} \cdot (2 f o r)}$ um.

$θ = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{π}{2 f o r}}$

Schritt 4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$θ = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{2 f o r}}$

Schritt 4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{π}{2 f o r}}$ als $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2 f o r}}$ um.

$θ = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2 f o r}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2 f o r}}$ mit $\frac{\sqrt{2 f o r}}{\sqrt{2 f o r}}$ .

$θ = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2 f o r}} \cdot \frac{\sqrt{2 f o r}}{\sqrt{2 f o r}})$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2 f o r}}$ mit $\frac{\sqrt{2 f o r}}{\sqrt{2 f o r}}$ .

$θ = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{π} \sqrt{2 f o r}}{\sqrt{2 f o r} \sqrt{2 f o r}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $\sqrt{2 f o r}$ mit $1$ .

$θ = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{π} \sqrt{2 f o r}}{{\sqrt{2 f o r}}^{1} \sqrt{2 f o r}}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{2 f o r}$ mit $1$ .

$θ = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{π} \sqrt{2 f o r}}{{\sqrt{2 f o r}}^{1} {\sqrt{2 f o r}}^{1}}$

Schritt 4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{π} \sqrt{2 f o r}}{{\sqrt{2 f o r}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{π} \sqrt{2 f o r}}{{\sqrt{2 f o r}}^{2}}$

Schritt 4.5.6

Schreibe ${\sqrt{2 f o r}}^{2}$ als $2 f o r$ um.

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Schritt 4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 f o r}$ als ${(2 f o r)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{π} \sqrt{2 f o r}}{{({(2 f o r)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{π} \sqrt{2 f o r}}{{(2 f o r)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{π} \sqrt{2 f o r}}{{(2 f o r)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{π} \sqrt{2 f o r}}{{(2 f o r)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{π} \sqrt{2 f o r}}{{(2 f o r)}^{1}}$

Schritt 4.5.6.5

Vereinfache.

$θ = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{π} \sqrt{2 f o r}}{2 f o r}$

Schritt 4.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{π \cdot 2 f o r}}{2 f o r}$

Schritt 4.7

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{π \cdot 2 f o r}}{2 f o r}$ .

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{π \cdot 2 f o r}}{2 f o r}$ .

$θ = \pm \frac{\sqrt{π \cdot 2 f o r}}{2 (2 f o r)}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$θ = \pm \frac{\sqrt{π \cdot 2 f o r}}{4 (f o r)}$

Schritt 4.8

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{π \cdot 2 f o r}}{4 f o r}$ um.

$θ = \pm \frac{\sqrt{2 π f o r}}{4 f o r}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$θ = \frac{\sqrt{2 π f o r}}{4 f o r}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$θ = - \frac{\sqrt{2 π f o r}}{4 f o r}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$θ = \frac{\sqrt{2 π f o r}}{4 f o r}$

$θ = - \frac{\sqrt{2 π f o r}}{4 f o r}$

$θ = \frac{\sqrt{2 π f o r}}{4 f o r}$

$θ = - \frac{\sqrt{2 π f o r}}{4 f o r}$