Trigonometrie Beispiele

$\cot (θ) = \frac{12}{5}$ , $\sin (θ) > 0$

Schritt 1

Die Sinusfunktion ist im ersten und zweiten Quadranten positiv. Die Kotangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Die Menge der Lösungen für $θ$ ist auf den ersten Quadranten beschränkt, da dieser Quadrant der einzige ist, der in beiden Mengen vorkommt.

Die Lösung liegt im ersten Quadranten.

Schritt 2

Benutze die Definition des Kotangens, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cot (θ) = \frac{Ankathete}{gegenüber}$

Schritt 3

Berechne die Hypotenuse des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Gegenkathete und die Ankathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}$

Schritt 4

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Hypotenuse = \sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 5.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{25 + {(12)}^{2}}$

Schritt 5.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{25 + 144}$

Schritt 5.3

Addiere $25$ und $144$ .

Hypothenuse $= \sqrt{169}$

Schritt 5.4

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

Hypothenuse $= \sqrt{13^{2}}$

Schritt 5.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Hypothenuse $= 13$

Schritt 6

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{5}{13}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{12}{13}$

Schritt 8

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 8.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{5}{12}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{13}{12}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{13}{5}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = \frac{5}{13}$

$\cos (θ) = \frac{12}{13}$

$\tan (θ) = \frac{5}{12}$

$\cot (θ) = \frac{12}{5}$

$\sec (θ) = \frac{13}{12}$

$\csc (θ) = \frac{13}{5}$