Trigonometrie Beispiele

$\tan (θ) = - \frac{8}{15}$ , $\cos (θ) < 0$

Schritt 1

Die Cosinusfunktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Die Tangensfunktion ist im zweiten und vierten Quadranten negativ. Die Menge der Lösungen für $θ$ ist auf den zweiten Quadranten beschränkt, da dies der einzige Quadrant ist, der in beiden Mengen gefunden wird.

Die Lösung liegt im zweiten Quadranten.

Schritt 2

Benutze die Definition des Tangens, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\tan (θ) = \frac{gegenüber}{Ankathete}$

Schritt 3

Berechne die Hypotenuse des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Gegenkathete und die Ankathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}$

Schritt 4

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Hypotenuse = \sqrt{{(8)}^{2} + {(- 15)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 5.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{64 + {(- 15)}^{2}}$

Schritt 5.2

Potenziere $- 15$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{64 + 225}$

Schritt 5.3

Addiere $64$ und $225$ .

Hypothenuse $= \sqrt{289}$

Schritt 5.4

Schreibe $289$ als $17^{2}$ um.

Hypothenuse $= \sqrt{17^{2}}$

Schritt 5.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Hypothenuse $= 17$

Schritt 6

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{8}{17}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{- 15}{17}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{15}{17}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{- 15}{8}$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cot (θ) = - \frac{15}{8}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{17}{- 15}$

Schritt 9.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (θ) = - \frac{17}{15}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{17}{8}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = \frac{8}{17}$

$\cos (θ) = - \frac{15}{17}$

$\tan (θ) = - \frac{8}{15}$

$\cot (θ) = - \frac{15}{8}$

$\sec (θ) = - \frac{17}{15}$

$\csc (θ) = \frac{17}{8}$