Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 \sin (x - 0.5) + 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \sin (x - 0.5)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x - 0.5$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 0.5$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 0.5$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 0.5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.2.5

Da $- 0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.2.6

Addiere $1$ und $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $\cos (x - 0.5)$ mit $1$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $- 4 \cos (x - 0.5)$ und $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \cos (x - 0.5)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x - 0.5)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \cos (x - 0.5)$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x - 0.5$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = 4 (\sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 0.5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Schritt 2.3.4

Da $- 0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + 0)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) \cdot 1$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 4 \cos (x - 0.5) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $\cos (x - 0.5)$ durch $1$ .

$\cos (x - 0.5) = \frac{0}{- 4}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$\cos (x - 0.5) = 0$

Schritt 5

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x - 0.5 = \arccos (0)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{π}{2}$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Addiere $0.5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{2} + 0.5$

Schritt 7.2

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0.5$ .

$x = 2.07079632$

Schritt 8

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x - 0.5 = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 9.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 9.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 9.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 9.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x - 0.5 = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 9.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x - 0.5 = \frac{3 π}{2}$

Schritt 9.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Addiere $0.5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{3 π}{2} + 0.5$

Schritt 9.2.2

Addiere $\frac{3 π}{2}$ und $0.5$ .

$x = 5.21238898$

Schritt 10

Die Lösung der Gleichung $x - 0.5 = \frac{π}{2}$ .

$x = 2.07079632, 5.21238898$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2.07079632$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 \sin ((2.07079632) - 0.5)$

Schritt 12

Subtrahiere $0.5$ von $2.07079632$ .

$4 \sin (1.57079632)$

Schritt 13

$x = 2.07079632$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2.07079632$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2.07079632$ .

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Schritt 14.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.07079632$ .

$f (2.07079632) = - 4 \sin ((2.07079632) - 0.5) + 11$

Schritt 14.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.1

Subtrahiere $0.5$ von $2.07079632$ .

$f (2.07079632) = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

Schritt 14.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 4 \sin (1.57079632) + 11$ .

$y = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

Schritt 15

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 5.21238898$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 \sin ((5.21238898) - 0.5)$

Schritt 16

Subtrahiere $0.5$ von $5.21238898$ .

$4 \sin (4.71238898)$

Schritt 17

$x = 5.21238898$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 5.21238898$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 5.21238898$ .

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Schritt 18.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5.21238898$ .

$f (5.21238898) = - 4 \sin ((5.21238898) - 0.5) + 11$

Schritt 18.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 18.2.1

Subtrahiere $0.5$ von $5.21238898$ .

$f (5.21238898) = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

Schritt 18.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 4 \sin (4.71238898) + 11$ .

$y = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

Schritt 19

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$ .

$(2.07079632, - 4 \sin (1.57079632) + 11)$ ist ein lokales Minimum

$(5.21238898, - 4 \sin (4.71238898) + 11)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 20