Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - {(x - 5)}^{2} + 3$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x - 5)}^{2}$ als $(x - 5) (x - 5)$ um.

$f (x) = - ((x - 5) (x - 5)) + 3$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - (x (x - 5) - 5 (x - 5)) + 3$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) + 3$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + 3$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = - (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + 3$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) = - (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) + 3$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$f (x) = - (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) + 3$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$f (x) = - (x^{2} - 10 x + 25) + 3$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25 + 3$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 1$ .

$f (x) = - x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25 + 3$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f (x) = - x^{2} + 10 x - 25 + 3$

Schritt 2

Addiere $- 25$ und $3$ .

$f (x) = - x^{2} + 10 x - 22$

Schritt 3

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 4

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{10}{2 (- 1)}$

Schritt 4.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{10}{2 (- 1)}$

Schritt 4.3

Vereinfache $- \frac{10}{2 (- 1)}$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{5}{- 1}$ .

$x = - (- 1 \cdot 5)$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 5)$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x = - - 5$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$x = 5$

Schritt 5

Berechne $f (5)$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = - {(5)}^{2} + 10 (5) - 22$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 10 (5) - 22$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f (5) = - 25 + 10 (5) - 22$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $5$ .

$f (5) = - 25 + 50 - 22$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 25$ und $50$ .

$f (5) = 25 - 22$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $22$ von $25$ .

$f (5) = 3$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 6

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(5, 3)$

Schritt 7