Trigonometrie Beispiele

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 23 \\ c = \\ a = & 14 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 105 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $A$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (A)}{14} = \frac{\sin (105)}{23}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $A$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $14$ .

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $14 \frac{\sin (105)}{23}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (105)$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (75)}{23}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30 + 45)}{23}$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Schritt 3.2.2.1.1.5

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Schritt 3.2.2.1.1.6

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{23}$

Schritt 3.2.2.1.1.7

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Schritt 3.2.2.1.1.8

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.8.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Schritt 3.2.2.1.1.8.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Schritt 3.2.2.1.1.8.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{23}$

Schritt 3.2.2.1.1.8.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{23}$

Schritt 3.2.2.1.1.8.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{23}$

Schritt 3.2.2.1.1.8.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{23}$

Schritt 3.2.2.1.1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{23}$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (A) = 14 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23})$

Schritt 3.2.2.1.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23}$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ mit $\frac{1}{23}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 23}$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $23$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

Schritt 3.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\sin (A) = 2 (7) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

Schritt 3.2.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $92$ heraus.

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

Schritt 3.2.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

Schritt 3.2.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$

Schritt 3.2.2.1.5

Kombiniere $7$ und $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$ .

$\sin (A) = \frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46}$

Schritt 3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $A$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$A = \arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$

Schritt 3.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.1

Berechne $\arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$ .

$A = 36.01201213$

Schritt 3.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$A = 180 - 36.01201213$

Schritt 3.6

Subtrahiere $36.01201213$ von $180$ .

$A = 143.98798786$

Schritt 3.7

Die Lösung der Gleichung $A = 36.01201213$ .

$A = 36.01201213, 143.98798786$

Schritt 3.8

Schließe den ungültigen Winkel aus.

$A = 36.01201213$

Schritt 4

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$36.01201213 + C + 105 = 180$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $36.01201213$ und $105$ .

$C + 141.01201213 = 180$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $141.01201213$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 141.01201213$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $141.01201213$ von $180$ .

$C = 38.98798786$

Schritt 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $c$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (38.98798786)}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

Schritt 8

Löse die Gleichung nach $c$ auf.

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Schritt 8.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Berechne $\sin (38.98798786)$ .

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

Schritt 8.1.2

Berechne $\sin (36.01201213)$ .

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{0.58795485}{14}$

Schritt 8.1.3

Dividiere $0.58795485$ durch $14$ .

$\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$

Schritt 8.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$c, 1$

Schritt 8.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$c$

Schritt 8.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ mit $c$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ mit $c$ .

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

Schritt 8.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$0.62915744 = 0.04199677 c$

Schritt 8.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 8.4.1

Schreibe die Gleichung als $0.04199677 c = 0.62915744$ um.

$0.04199677 c = 0.62915744$

Schritt 8.4.2

Teile jeden Ausdruck in $0.04199677 c = 0.62915744$ durch $0.04199677$ und vereinfache.

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Schritt 8.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $0.04199677 c = 0.62915744$ durch $0.04199677$ .

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Schritt 8.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.04199677$ .

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Schritt 8.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Schritt 8.4.2.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Schritt 8.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.3.1

Dividiere $0.62915744$ durch $0.04199677$ .

$c = 14.98108954$

Schritt 9

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 36.01201213$

$B = 105$

$C = 38.98798786$

$a = 14$

$b = 23$

$c = 14.98108954$