Trigonometrie Beispiele

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 10 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Bestimme den verbleibenden Winkel des Dreiecks.

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Schritt 1.1

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$30 + 90 + B = 180$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $30$ und $90$ .

$120 + B = 180$

Schritt 1.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $120$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 180 - 120$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $120$ von $180$ .

$B = 60$

Schritt 2

Ermittle $b$ .

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Schritt 2.1

Der Kosinus eines Winkels ist gleich dem Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.

$\cos (A) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 2.2

Setze den Namen jeder Seite in die Definition der Kosinusfunktion ein.

$\cos (A) = \frac{b}{c}$

Schritt 2.3

Stelle die Gleichung auf, um nach der Ankathete aufzulösen, in diesem Fall $b$ .

$b = c \cdot \cos (A)$

Schritt 2.4

Setze die Werte jeder Variablen in die Formel für den Kosinus ein.

$b = 10 \cdot \cos (30)$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$b = 2 (5) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = 2 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$b = 5 \cdot \sqrt{3}$

$b = 5 \sqrt{3}$

Schritt 3

Berechne die übrig gebliebene Seite unter Anwendung des Satzes von Pythagoras.

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Schritt 3.1

Wende den Satz des Pythagoras an, um die unbekannte Seite zu bestimmen. In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrates, dessen Seite die Hypotenuse (die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks gegenüber dem rechten Winkel) ist, gleich der Summe der Flächen der Quadrate, deren Seiten die beiden Schenkel sind (die zwei Seiten, die nicht die Hypotenuse sind).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Schritt 3.3

Setze die tatsächlichen Werte in die Gleichung ein.

$a = \sqrt{{(10)}^{2} - {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$a = \sqrt{100 - {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Wende die Produktregel auf $5 \sqrt{3}$ an.

$a = \sqrt{100 - (5^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$a = \sqrt{100 - (25 {\sqrt{3}}^{2})}$

Schritt 3.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$a = \sqrt{100 - (25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \sqrt{100 - (25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Schritt 3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$a = \sqrt{100 - (25 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \sqrt{100 - (25 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a = \sqrt{100 - (25 \cdot 3)}$

Schritt 3.5.5

Berechne den Exponenten.

$a = \sqrt{100 - (25 \cdot 3)}$

Schritt 3.6

Multipliziere $- (25 \cdot 3)$ .

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$a = \sqrt{100 - 1 \cdot 75}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $75$ .

$a = \sqrt{100 - 75}$

Schritt 3.7

Subtrahiere $75$ von $100$ .

$a = \sqrt{25}$

Schritt 3.8

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$a = \sqrt{5^{2}}$

Schritt 3.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a = 5$

Schritt 4

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 30$

$B = 60$

$C = 90$

$a = 5$

$b = 5 \sqrt{3}$

$c = 10$