Trigonometrie Beispiele

Löse das Dreieck tri{}{60}{10}{}{9}{}
Schritt 1
Der Sinussatz bringt ein uneindeutiges Ergebnis für den Winkel hervor. Das bedeutet, dass es Winkel gibt, die die Gleichung erfüllen. Wende den ersten möglichen Winkelwert für das erste Dreieck an.
Löse für das erste Dreieck.
Schritt 2
Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.
Schritt 3
Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um zu bestimmen.
Schritt 4
Löse die Gleichung nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit .
Schritt 4.2
Vereinfache beide Seiten der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.1.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.2.2.1.2
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 4.2.2.1.3
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.1.4.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.1.4.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.2.1.4.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.2.1.5
Kombiniere und .
Schritt 4.3
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 4.4
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.4.1
Berechne .
Schritt 4.5
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 4.6
Subtrahiere von .
Schritt 4.7
Die Lösung der Gleichung .
Schritt 5
Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist Grad.
Schritt 6
Löse die Gleichung nach auf.
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Schritt 6.1
Addiere und .
Schritt 6.2
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 6.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 7
Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.
Schritt 8
Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um zu bestimmen.
Schritt 9
Löse die Gleichung nach auf.
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Schritt 9.1
Faktorisiere jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1.1
Berechne .
Schritt 9.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 9.1.3
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 9.1.4
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.
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Schritt 9.2.1
Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.
Schritt 9.2.2
Since contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part then find LCM for the variable part .
Schritt 9.2.3
Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.
1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.
2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.
Schritt 9.2.4
Die Zahl ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.
Nicht prim
Schritt 9.2.5
Die Primfaktoren von sind .
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Schritt 9.2.5.1
hat Faktoren von und .
Schritt 9.2.5.2
hat Faktoren von und .
Schritt 9.2.6
Multipliziere .
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Schritt 9.2.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2.7
Der Teiler von ist selbst.
occurs time.
Schritt 9.2.8
Das kgV von ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.
Schritt 9.2.9
Das kgV von ist der numerische Teil multipliziert mit dem variablen Teil.
Schritt 9.3
Multipliziere jeden Term in mit um die Brüche zu eliminieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.3.1
Multipliziere jeden Term in mit .
Schritt 9.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.3.2.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 9.3.2.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.3.2.2.1
Kombiniere und .
Schritt 9.3.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.3.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.3.2.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.3.2.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 9.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.3.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.3.3.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 9.3.3.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.3.3.1.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 9.4
Löse die Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.4.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 9.4.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.4.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 9.4.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.4.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.4.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.4.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 9.4.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.4.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.4.2.3.2
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.4.2.3.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.4.2.3.2.2
Potenziere mit .
Schritt 9.4.2.3.2.3
Potenziere mit .
Schritt 9.4.2.3.2.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 9.4.2.3.2.5
Addiere und .
Schritt 9.4.2.3.2.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.4.2.3.2.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 9.4.2.3.2.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 9.4.2.3.2.6.3
Kombiniere und .
Schritt 9.4.2.3.2.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.4.2.3.2.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.4.2.3.2.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 9.4.2.3.2.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 9.4.2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.4.2.3.4
Dividiere durch .
Schritt 10
Wende den zweiten möglichen Winkelwert für das zweite Dreieck an.
Löse für das zweite Dreieck.
Schritt 11
Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.
Schritt 12
Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um zu bestimmen.
Schritt 13
Löse die Gleichung nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit .
Schritt 13.2
Vereinfache beide Seiten der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.1
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.1.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 13.2.1.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 13.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.2.1.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 13.2.2.1.2
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 13.2.2.1.3
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.2.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2.2.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 13.2.2.1.4.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 13.2.2.1.4.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 13.2.2.1.4.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 13.2.2.1.5
Kombiniere und .
Schritt 13.3
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 13.4
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.4.1
Berechne .
Schritt 13.5
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 13.6
Subtrahiere von .
Schritt 13.7
Die Lösung der Gleichung .
Schritt 14
Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist Grad.
Schritt 15
Löse die Gleichung nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.1
Addiere und .
Schritt 15.2
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 15.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 16
Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.
Schritt 17
Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um zu bestimmen.
Schritt 18
Löse die Gleichung nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.1
Faktorisiere jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.1.1
Berechne .
Schritt 18.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 18.1.3
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 18.1.4
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.1.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.1.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.2
Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.2.1
Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.
Schritt 18.2.2
Since contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part then find LCM for the variable part .
Schritt 18.2.3
Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.
1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.
2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.
Schritt 18.2.4
Die Zahl ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.
Nicht prim
Schritt 18.2.5
Die Primfaktoren von sind .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.2.5.1
hat Faktoren von und .
Schritt 18.2.5.2
hat Faktoren von und .
Schritt 18.2.6
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.2.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.2.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.2.7
Der Teiler von ist selbst.
occurs time.
Schritt 18.2.8
Das kgV von ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.
Schritt 18.2.9
Das kgV von ist der numerische Teil multipliziert mit dem variablen Teil.
Schritt 18.3
Multipliziere jeden Term in mit um die Brüche zu eliminieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.3.1
Multipliziere jeden Term in mit .
Schritt 18.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.3.2.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 18.3.2.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.3.2.2.1
Kombiniere und .
Schritt 18.3.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.3.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.3.2.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 18.3.2.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 18.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.3.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.3.3.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 18.3.3.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 18.3.3.1.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 18.4
Löse die Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.4.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 18.4.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.4.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 18.4.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.4.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.4.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 18.4.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 18.4.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.4.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.4.2.3.2
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.4.2.3.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.4.2.3.2.2
Potenziere mit .
Schritt 18.4.2.3.2.3
Potenziere mit .
Schritt 18.4.2.3.2.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 18.4.2.3.2.5
Addiere und .
Schritt 18.4.2.3.2.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.4.2.3.2.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 18.4.2.3.2.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 18.4.2.3.2.6.3
Kombiniere und .
Schritt 18.4.2.3.2.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.4.2.3.2.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 18.4.2.3.2.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 18.4.2.3.2.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 18.4.2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.4.2.3.4
Dividiere durch .
Schritt 19
Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.
Erste Dreieckskombination:
Zweite Dreickskombination: