Trigonometrie Beispiele

$\sin (4 x) \cos (x) - \sin (x) \cos (4 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $[0, 2 π)$

Schritt 1

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $[0, 2 π)$ ergeben.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (0)}{3}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $2 π (0)$ heraus.

$\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Schritt 2.1.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Schritt 2.1.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Schritt 2.1.2.1.1.2.4

Dividiere $2 π \cdot (0)$ durch $1$ .

$\frac{5 π}{12} + 2 π \cdot (0)$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $2 π (0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{5 π}{12} + 0 π$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{5 π}{12} + 0$

Schritt 2.1.2.2

Addiere $\frac{5 π}{12}$ und $0$ .

$\frac{5 π}{12}$

Schritt 2.1.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{5 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Schritt 2.2

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π (0)}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $2 π (0)$ heraus.

$\frac{7 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{7 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Schritt 2.2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Schritt 2.2.2.1.1.2.4

Dividiere $2 π \cdot (0)$ durch $1$ .

$\frac{7 π}{12} + 2 π \cdot (0)$

Schritt 2.2.2.1.2

Multipliziere $2 π (0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{7 π}{12} + 0 π$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{7 π}{12} + 0$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $\frac{7 π}{12}$ und $0$ .

$\frac{7 π}{12}$

Schritt 2.2.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{7 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}$

Schritt 2.3

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (1)}{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3}$

Schritt 2.3.2.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{12}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 π + 2 π \cdot 4}{12}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{5 π + 8 π}{12}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $5 π$ und $8 π$ .

$\frac{13 π}{12}$

Schritt 2.3.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{13 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}$

Schritt 2.4

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π (1)}{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3}$

Schritt 2.4.2.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.4.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{12}$

Schritt 2.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 π + 2 π \cdot 4}{12}$

Schritt 2.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{7 π + 8 π}{12}$

Schritt 2.4.2.5.2

Addiere $7 π$ und $8 π$ .

$\frac{15 π}{12}$

Schritt 2.4.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $15 π$ heraus.

$\frac{3 (5 π)}{12}$

Schritt 2.4.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 (5 π)}{3 (4)}$

Schritt 2.4.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (5 π)}{3 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 π}{4}$

Schritt 2.4.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{5 π}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{5 π}{4}$

Schritt 2.5

Setze $2$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze $2$ für $n$ ein.

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (2)}{3}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π}{3}$

Schritt 2.5.2.2

Um $\frac{4 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.5.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{12}$

Schritt 2.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 π + 4 π \cdot 4}{12}$

Schritt 2.5.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{5 π + 16 π}{12}$

Schritt 2.5.2.5.2

Addiere $5 π$ und $16 π$ .

$\frac{21 π}{12}$

Schritt 2.5.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $21 π$ heraus.

$\frac{3 (7 π)}{12}$

Schritt 2.5.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 (7 π)}{3 (4)}$

Schritt 2.5.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (7 π)}{3 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 π}{4}$

Schritt 2.5.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{7 π}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Schritt 2.6

Setze $2$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Setze $2$ für $n$ ein.

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π (2)}{3}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π}{3}$

Schritt 2.6.2.2

Um $\frac{4 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.6.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Schritt 2.6.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{12}$

Schritt 2.6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 π + 4 π \cdot 4}{12}$

Schritt 2.6.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{7 π + 16 π}{12}$

Schritt 2.6.2.5.2

Addiere $7 π$ und $16 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

Schritt 2.6.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{23 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{23 π}{12}$

Schritt 3