Trigonometrie Beispiele

$\cos (2 θ) + \cos (θ) = 0$ , $0 \leq θ \leq 360$

Schritt 1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$2 \cos^{2} (θ) - 1 + \cos (θ) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Stelle die Terme um.

$2 \cos^{2} (θ) + \cos (θ) - 1 = 0$

Schritt 2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$2 \cos^{2} (θ) + 1 \cos (θ) - 1 = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$2 \cos^{2} (θ) + (- 1 + 2) \cos (θ) - 1 = 0$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos^{2} (θ) - 1 \cos (θ) + 2 \cos (θ) - 1 = 0$

Schritt 2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 \cos^{2} (θ) - 1 \cos (θ) + 2 \cos (θ) - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\cos (θ) (2 \cos (θ) - 1) + 1 (2 \cos (θ) - 1) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 \cos (θ) - 1$ .

$(2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) + 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

$\cos (θ) + 1 = 0$

Schritt 4

Setze $2 \cos (θ) - 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 \cos (θ) - 1$ gleich $0$ .

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 \cos (θ) - 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (θ) = 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (θ) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (θ) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (θ)$ durch $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $60$ .

$θ = 60$

Schritt 4.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 60$

Schritt 4.2.6

Subtrahiere $60$ von $360$ .

$θ = 300$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 4.2.8

Die Periode der $\cos (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Setze $\cos (θ) + 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\cos (θ) + 1$ gleich $0$ .

$\cos (θ) + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\cos (θ) + 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (θ) = - 1$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (- 1)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $180$ .

$θ = 180$

Schritt 5.2.4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 180$

Schritt 5.2.5

Subtrahiere $180$ von $360$ .

$θ = 180$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 5.2.7

Die Periode der $\cos (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 180 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) + 1) = 0$ wahr machen.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n, 180 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = 60 + 120 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $[0, 360]$ ergeben.

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Schritt 8.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 360]$ enthalten ist.

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Schritt 8.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$60 + 120 (0)$

Schritt 8.1.2

Vereinfache.

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $120$ mit $0$ .

$60 + 0$

Schritt 8.1.2.2

Addiere $60$ und $0$ .

$60$

Schritt 8.1.3

Das Intervall $[0, 360]$ enthält $60$ .

$θ = 60$

Schritt 8.2

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 360]$ enthalten ist.

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Schritt 8.2.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$60 + 120 (1)$

Schritt 8.2.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Mutltipliziere $120$ mit $1$ .

$60 + 120$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $60$ und $120$ .

$180$

Schritt 8.2.3

Das Intervall $[0, 360]$ enthält $180$ .

$θ = 60, 180$

Schritt 8.3

Setze $2$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 360]$ enthalten ist.

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Schritt 8.3.1

Setze $2$ für $n$ ein.

$60 + 120 (2)$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $120$ mit $2$ .

$60 + 240$

Schritt 8.3.2.2

Addiere $60$ und $240$ .

$300$

Schritt 8.3.3

Das Intervall $[0, 360]$ enthält $300$ .

$θ = 60, 180, 300$