Trigonometrie Beispiele

$y = x^{2} - 8 x - 16$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{2} - 8 x - 16$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 8 x - 16 = 0$ um.

$x^{2} - 8 x - 16 = 0$

Schritt 1.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = - 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 16$ .

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Schritt 1.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 16$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.3

Addiere $64$ und $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.4

Schreibe $128$ als $8^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.4.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $128$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 8 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 8 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 8 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 \pm 4 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 16$ .

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Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 16$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.3

Addiere $64$ und $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.4

Schreibe $128$ als $8^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.5.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $128$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 8 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 8 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 8 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 \pm 4 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 4 + 4 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 16$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 16$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Addiere $64$ und $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $128$ als $8^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $128$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 8 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 8 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 8 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 \pm 4 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 4 - 4 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 4 + 4 \sqrt{2}, 4 - 4 \sqrt{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(4 + 4 \sqrt{2}, 0), (4 - 4 \sqrt{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16$

Schritt 2.2.3

Vereinfache ${(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0 - 16$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 16$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 16$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$y = - 16$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 16)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(4 + 4 \sqrt{2}, 0), (4 - 4 \sqrt{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 16)$

Schritt 4