Trigonometrie Beispiele

$y^{2} + 2 y = - x - 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $- x - 5 = y^{2} + 2 y$ um.

$- x - 5 = y^{2} + 2 y$

Schritt 1.1.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = y^{2} + 2 y + 5$

Schritt 1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = y^{2} + 2 y + 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = y^{2} + 2 y + 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{2 y}{- 1} + \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{2 y}{- 1} + \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.1.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{2 y}{- 1} + \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot y^{2} + \frac{2 y}{- 1} + \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$x = - y^{2} + \frac{2 y}{- 1} + \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 y}{- 1}$ .

$x = - y^{2} - 1 \cdot (2 y) + \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (2 y)$ als $- (2 y)$ um.

$x = - y^{2} - (2 y) + \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = - y^{2} - 2 y + \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.6

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

$x = - y^{2} - 2 y - 5$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- y^{2} - 2 y - 5$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 2$

$c = - 5$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.2.3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 1$ als $- - 1$ um.

$d = - - 1$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$d = 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 5 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = - 5 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - 5 - \frac{4}{- 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $- 4$ .

$e = - 5 - - 1$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - 5 + 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $- 5$ und $1$ .

$e = - 4$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(y + 1)}^{2} - 4$ ein.

$- {(y + 1)}^{2} - 4$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - {(y + 1)}^{2} - 4$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = - 4$

$k = - 1$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 4, - 1)$

Schritt 4