Trigonometrie Beispiele

$a = 8$ , $b = 5$ , $c = 4$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(5)}^{2} + {(4)}^{2} - {(8)}^{2}}{2 (5) (4)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 4^{2} - 8^{2}}{2 (5) \cdot 4})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 16 - 8^{2}}{2 (5) \cdot 4})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 16 - 1 \cdot 64}{2 (5) \cdot 4})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 16 - 64}{2 (5) \cdot 4})$

Schritt 4.1.5

Addiere $25$ und $16$ .

$A = \arccos (\frac{41 - 64}{2 (5) \cdot 4})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $64$ von $41$ .

$A = \arccos (\frac{- 23}{2 (5) \cdot 4})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$A = \arccos (\frac{- 23}{10 \cdot 4})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$A = \arccos (\frac{- 23}{40})$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = \arccos (- \frac{23}{40})$

Schritt 4.4

Berechne $\arccos (- \frac{23}{40})$ .

$A = 125.09963219$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(8)}^{2} + {(4)}^{2} - {(5)}^{2}}{2 (8) (4)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{64 + 4^{2} - 5^{2}}{2 (8) \cdot 4})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{64 + 16 - 5^{2}}{2 (8) \cdot 4})$

Schritt 8.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{64 + 16 - 1 \cdot 25}{2 (8) \cdot 4})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$B = \arccos (\frac{64 + 16 - 25}{2 (8) \cdot 4})$

Schritt 8.1.5

Addiere $64$ und $16$ .

$B = \arccos (\frac{80 - 25}{2 (8) \cdot 4})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $25$ von $80$ .

$B = \arccos (\frac{55}{2 (8) \cdot 4})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$B = \arccos (\frac{55}{16 \cdot 4})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$B = \arccos (\frac{55}{64})$

Schritt 8.3

Berechne $\arccos (\frac{55}{64})$ .

$B = 30.7535198$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$125.09963219 + C + 30.7535198 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $125.09963219$ und $30.7535198$ .

$C + 155.853152 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $155.853152$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 155.853152$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $155.853152$ von $180$ .

$C = 24.14684799$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 125.09963219$

$B = 30.7535198$

$C = 24.14684799$

$a = 8$

$b = 5$

$c = 4$