Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 4 \cos (2 x - π)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 4 \cos (2 x - π)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 \cos (2 x - π) = 0$ um.

$4 \cos (2 x - π) = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos (2 x - π) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos (2 x - π) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 \cos (2 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cos (2 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (2 x - π)$ durch $1$ .

$\cos (2 x - π) = \frac{0}{4}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$\cos (2 x - π) = 0$

Schritt 1.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x - π = \arccos (0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$2 x - π = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.5.1

Addiere $π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = \frac{π}{2} + π$

Schritt 1.2.5.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.5.3

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π + π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 x = \frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Schritt 1.2.5.5.2

Addiere $π$ und $2 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.6

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.6.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.2.7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x - π = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x - π = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.8.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x - π = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x - π = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.8.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x - π = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 1.2.8.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$2 x - π = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.8.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.8.2.1

Addiere $π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = \frac{3 π}{2} + π$

Schritt 1.2.8.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.8.2.3

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.8.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{3 π + π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.8.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.2.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 x = \frac{3 π + 2 \cdot π}{2}$

Schritt 1.2.8.2.5.2

Addiere $3 π$ und $2 π$ .

$2 x = \frac{5 π}{2}$

Schritt 1.2.8.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.8.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Schritt 1.2.8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.8.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Schritt 1.2.8.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Schritt 1.2.8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.8.3.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 1.2.9

Ermittele die Periode von $\cos (2 x - π)$ .

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Schritt 1.2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.9.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 1.2.9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 1.2.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 1.2.9.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.2.10

Die Periode der Funktion $\cos (2 x - π)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.2.11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 4 \cos (2 (0) - π)$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cos (2 (0) - π)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $4 \cos (2 (0) - π)$ .

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 4 \cos (0 - π)$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $π$ von $0$ .

$y = 4 \cos (- π)$

Schritt 2.2.2.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$y = 4 (- \cos (0))$

Schritt 2.2.2.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$y = 4 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 2.2.2.5

Multipliziere $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = 4 \cdot - 1$

Schritt 2.2.2.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = - 4$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 4)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 4)$

Schritt 4