Trigonometrie Beispiele

$p (x) = 27 x^{3} - 64$

Schritt 1

Setze $27 x^{3} - 64$ gleich $0$ .

$27 x^{3} - 64 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$27 x^{3} = 64$

Schritt 2.2

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$27 x^{3} - 64 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $27 x^{3}$ als ${(3 x)}^{3}$ um.

${(3 x)}^{3} - 64 = 0$

Schritt 2.3.2

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

${(3 x)}^{3} - 4^{3} = 0$

Schritt 2.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 3 x$ und $b = 4$ .

$(3 x - 4) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$(3 x - 4) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 2.3.4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(3 x - 4) (9 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$(3 x - 4) (9 x^{2} + 12 x + 4^{2}) = 0$

Schritt 2.3.4.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(3 x - 4) (9 x^{2} + 12 x + 16) = 0$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$9 x^{2} + 12 x + 16 = 0$

Schritt 2.5

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $3 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 4$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 2.6

Setze $9 x^{2} + 12 x + 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $9 x^{2} + 12 x + 16$ gleich $0$ .

$9 x^{2} + 12 x + 16 = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $9 x^{2} + 12 x + 16 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.6.2.2

Setze die Werte $a = 9$ , $b = 12$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 16)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.3.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 16$ .

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Schritt 2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $576$ von $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.6.2.3.1.4

Schreibe $- 432$ als $- 1 (432)$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (432)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.6.2.3.1.7

Schreibe $432$ als $12^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $144$ aus $432$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.6.2.3.1.7.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.6.2.3.1.9

Bringe $12$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{18}$

Schritt 2.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 4) (9 x^{2} + 12 x + 16) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{4}{3}, - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3