Trigonometrie Beispiele

$F (x) = {(x - 6)}^{3}$

Schritt 1

Schreibe $F (x) = {(x - 6)}^{3}$ als Gleichung.

$y = {(x - 6)}^{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(y - 6)}^{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(y - 6)}^{3} = x$ um.

${(y - 6)}^{3} = x$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y - 6 = \sqrt[3]{x}$

Schritt 3.3

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt[3]{x} + 6$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $F^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$F^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 6$

Schritt 5

Überprüfe, ob $F^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 6$ die Umkehrfunktion von $F (x) = {(x - 6)}^{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $F^{- 1} (F (x)) = x$ ist und $F (F^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $F^{- 1} (F (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$F^{- 1} (F (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $F^{- 1} ({(x - 6)}^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $F$ in $F^{- 1}$ .

$F^{- 1} ({(x - 6)}^{3}) = \sqrt[3]{{(x - 6)}^{3}} + 6$

Schritt 5.2.3

Entferne die Klammern.

$F^{- 1} ({(x - 6)}^{3}) = \sqrt[3]{{(x - 6)}^{3}} + 6$

Schritt 5.2.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$F^{- 1} ({(x - 6)}^{3}) = x - 6 + 6$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 6 + 6$ .

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$F^{- 1} ({(x - 6)}^{3}) = x + 0$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$F^{- 1} ({(x - 6)}^{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $F (F^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$F (F^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $F (\sqrt[3]{x} + 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $F^{- 1}$ in $F$ .

$F (\sqrt[3]{x} + 6) = {((\sqrt[3]{x} + 6) - 6)}^{3}$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\sqrt[3]{x} + 6) - 6$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$F (\sqrt[3]{x} + 6) = {(\sqrt[3]{x} + 0)}^{3}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\sqrt[3]{x}$ und $0$ .

$F (\sqrt[3]{x} + 6) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Schritt 5.3.4

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$F (\sqrt[3]{x} + 6) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$F (\sqrt[3]{x} + 6) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$F (\sqrt[3]{x} + 6) = x^{\frac{3}{3}}$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$F (\sqrt[3]{x} + 6) = x^{\frac{3}{3}}$

Schritt 5.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$F (\sqrt[3]{x} + 6) = x$

Schritt 5.3.4.5

Vereinfache.

$F (\sqrt[3]{x} + 6) = x$

Schritt 5.4

Da $F^{- 1} (F (x)) = x$ und $F (F^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $F^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 6$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $F (x) = {(x - 6)}^{3}$ .

$F^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 6$