Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 2^{x - 1} + 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ als Gleichung.

$y = 2^{x - 1} + 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2^{y - 1} + 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2^{y - 1} + 1 = x$ um.

$2^{y - 1} + 1 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2^{y - 1} = x - 1$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (x - 1)$

Schritt 3.4

Zerlege $\ln (2^{y - 1})$ durch Herausziehen von $y - 1$ aus dem Logarithmus.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (x - 1)$

Schritt 3.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache $(y - 1) \ln (2)$ .

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Schritt 3.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x - 1)$

Schritt 3.5.1.2

Schreibe $- 1 \ln (2)$ als $- \ln (2)$ um.

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x - 1)$

Schritt 3.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x - 1) = 0$

Schritt 3.7

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.7.1

Addiere $\ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y \ln (2) - \ln (x - 1) = \ln (2)$

Schritt 3.7.2

Addiere $\ln (x - 1)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$

Schritt 3.8

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 3.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Schritt 3.8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 3.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Schritt 3.8.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2^{x - 1} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1} + 0)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $2^{x - 1}$ und $0$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Zerlege $\ln (2^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.4.2.2

Dividiere $x - 1$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + x - 1$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + x - 1$ .

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Schritt 5.2.5.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x + 0$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $0$ und $\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x - 1)} + 1$

Schritt 5.3.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x - 1 + 1$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.5.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$