Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \sqrt{5 x - 5}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{5 x - 5}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{5 x - 5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{5 y - 5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{5 y - 5} = x$ um.

$\sqrt{5 y - 5} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{5 y - 5}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 y - 5}$ als ${(5 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(5 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(5 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(5 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(5 y - 5)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$5 y - 5 = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = x^{2} + 5$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $5 y = x^{2} + 5$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = x^{2} + 5$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{5}{5}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{5}{5}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{5}{5}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Dividiere $5$ durch $5$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + 1$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{5 x - 5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{(\sqrt{5 x - 5})}^{2}}{5} + 1$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x - 5$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{\sqrt{5 (x) - 5}}^{2}}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{\sqrt{5 (x) + 5 (- 1)}}^{2}}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.1.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x) + 5 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{\sqrt{5 (x - 1)}}^{2}}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{5 (x - 1)}}^{2}$ als $5 (x - 1)$ um.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 (x - 1)}$ als ${(5 (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{({(5 (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{(5 (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{(5 (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{(5 (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x - 1)}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.1.2.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x - 1)}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 x + 5 \cdot - 1}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 x - 5}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 x - 5$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.5.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x) - 5}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.1.5.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x) + 5 (- 1)}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.1.5.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x) + 5 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x - 1)}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x - 1)}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.2.2

Dividiere $x - 1$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = x - 1 + 1$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{5} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 1) - 5}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (\frac{x^{2}}{5} + 1) - 5$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 1) + 5 (- 1)}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $5$ aus $5 (\frac{x^{2}}{5} + 1) + 5 (- 1)$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 1 - 1)}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 0)}$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $\frac{x^{2}}{5}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5})}$

Schritt 5.3.5

Kombiniere $5$ und $\frac{x^{2}}{5}$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{\frac{5 x^{2}}{5}}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{5 x^{2}}{5}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{\frac{5 x^{2}}{5}}$

Schritt 5.3.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Schritt 5.3.6.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 5.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{5 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 1$