Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{7 x + 4}{5}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{7 x + 4}{5}$ als Gleichung.

$y = \frac{7 x + 4}{5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{7 y + 4}{5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{7 y + 4}{5} = x$ um.

$\frac{7 y + 4}{5} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $5$ .

$\frac{7 y + 4}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 y + 4}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$7 y + 4 = x \cdot 5$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$7 y + 4 = 5 x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 y = 5 x - 4$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $7 y = 5 x - 4$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 y = 5 x - 4$ durch $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{5 x}{7} + \frac{- 4}{7}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 y}{7} = \frac{5 x}{7} + \frac{- 4}{7}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5 x}{7} + \frac{- 4}{7}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{7 x + 4}{5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{7 x + 4}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x + 4}{5}) = \frac{5 (\frac{7 x + 4}{5})}{7} - \frac{4}{7}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{7 x + 4}{5}) = \frac{5 (\frac{7 x + 4}{5}) - 4}{7}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7 x + 4}{5}) = \frac{5 (\frac{7 x + 4}{5}) - 4}{7}$

Schritt 5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{7 x + 4}{5}) = \frac{7 x + 4 - 4}{7}$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $7 x + 4 - 4$ .

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Schritt 5.2.5.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x + 4}{5}) = \frac{7 x + 0}{7}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $7 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x + 4}{5}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7 x + 4}{5}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x + 4}{5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{5 x}{7} - \frac{4}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}) = \frac{7 (\frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}) + 4}{5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}) = \frac{7 (\frac{5 x}{7}) + 7 (- \frac{4}{7}) + 4}{5}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}) = \frac{7 (\frac{5 x}{7}) + 7 (- \frac{4}{7}) + 4}{5}$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}) = \frac{5 x + 7 (- \frac{4}{7}) + 4}{5}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{7}$ in den Zähler.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}) = \frac{5 x + 7 (\frac{- 4}{7}) + 4}{5}$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}) = \frac{5 x + 7 (\frac{- 4}{7}) + 4}{5}$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}) = \frac{5 x - 4 + 4}{5}$

Schritt 5.3.3.4

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Schritt 5.3.3.5

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{7 x + 4}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{7} - \frac{4}{7}$