Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} \tan (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{2} \tan (x)$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{2} \tan (x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{2} \cdot \tan (y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot \tan (y) = x$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \tan (y) = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \tan (y)) = 2 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \tan (y))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\tan (y)$ .

$2 \frac{\tan (y)}{2} = 2 x$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\tan (y)}{2} = 2 x$

Schritt 3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (y) = 2 x$

Schritt 3.4

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y = \arctan (2 x)$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \arctan (2 x)$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arctan (2 x)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (x)$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan (x)) = \arctan (2 (\frac{1}{2} \cdot \tan (x)))$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan (x)) = \arctan (2 (\frac{\tan (x)}{2}))$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan (x)) = \arctan (2 (\frac{\tan (x)}{2}))$

Schritt 5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan (x)) = \arctan (\tan (x))$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\arctan (2 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arctan (2 x)) = \frac{1}{2} \cdot \tan (\arctan (2 x))$

Schritt 5.3.3

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$f (\arctan (2 x)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\arctan (2 x)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arctan (2 x)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\arctan (2 x)) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arctan (2 x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (2 x)$