Trigonometrie Beispiele

$\frac{x - 17}{x - 18} > 3$

Schritt 1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x - 17}{x - 18} - 3 > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x - 17}{x - 18} - 3$ .

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Schritt 2.1

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 18}{x - 18}$ .

$\frac{x - 17}{x - 18} - 3 \cdot \frac{x - 18}{x - 18} > 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x - 18}{x - 18}$ .

$\frac{x - 17}{x - 18} + \frac{- 3 (x - 18)}{x - 18} > 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 17 - 3 (x - 18)}{x - 18} > 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 17 - 3 x - 3 \cdot - 18}{x - 18} > 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 18$ .

$\frac{x - 17 - 3 x + 54}{x - 18} > 0$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$\frac{- 2 x - 17 + 54}{x - 18} > 0$

Schritt 2.4.4

Addiere $- 17$ und $54$ .

$\frac{- 2 x + 37}{x - 18} > 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{- (2 x) + 37}{x - 18} > 0$

Schritt 2.6

Schreibe $37$ als $- 1 (- 37)$ um.

$\frac{- (2 x) - 1 (- 37)}{x - 18} > 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- 37)$ heraus.

$\frac{- (2 x - 37)}{x - 18} > 0$

Schritt 2.8

Schreibe $- (2 x - 37)$ als $- 1 (2 x - 37)$ um.

$\frac{- 1 (2 x - 37)}{x - 18} > 0$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x - 37}{x - 18} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x - 37 = 0$

$x - 18 = 0$

Schritt 4

Addiere $37$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 37$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 37$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 37$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{37}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{37}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{37}{2}$

Schritt 6

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 18$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{37}{2}$

$x = 18$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{37}{2}, 18$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{2 x - 37}{x - 18}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x - 37}{x - 18}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 18 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 18$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 18) \cup (18, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 18$

$18 < x < \frac{37}{2}$

$x > \frac{37}{2}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 18$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 18$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) - 17}{(0) - 18} > 3$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $0.9\overline{4}$ ist nicht größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $18 < x < \frac{37}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $18 < x < \frac{37}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 18.25$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $18.25$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(18.25) - 17}{(18.25) - 18} > 3$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $5$ ist größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{37}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{37}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 21$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $21$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(21) - 17}{(21) - 18} > 3$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $1.\overline{3}$ ist nicht größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 18$ Falsch

$18 < x < \frac{37}{2}$ Wahr

$x > \frac{37}{2}$ Falsch

$x < 18$ Falsch

$18 < x < \frac{37}{2}$ Wahr

$x > \frac{37}{2}$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$18 < x < \frac{37}{2}$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(18, \frac{37}{2})$

Schritt 14