Trigonometrie Beispiele

$\frac{x - 4}{x + 5} < 4$

Schritt 1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x - 4}{x + 5} - 4 < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x - 4}{x + 5} - 4$ .

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Schritt 2.1

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x - 4}{x + 5} - 4 \cdot \frac{x + 5}{x + 5} < 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x - 4}{x + 5} + \frac{- 4 (x + 5)}{x + 5} < 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 4 - 4 (x + 5)}{x + 5} < 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 4 - 4 x - 4 \cdot 5}{x + 5} < 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$\frac{x - 4 - 4 x - 20}{x + 5} < 0$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $4 x$ von $x$ .

$\frac{- 3 x - 4 - 20}{x + 5} < 0$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $20$ von $- 4$ .

$\frac{- 3 x - 24}{x + 5} < 0$

Schritt 2.4.5

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x - 24$ heraus.

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Schritt 2.4.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{3 (- x) - 24}{x + 5} < 0$

Schritt 2.4.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 24$ heraus.

$\frac{3 (- x) + 3 (- 8)}{x + 5} < 0$

Schritt 2.4.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x) + 3 (- 8)$ heraus.

$\frac{3 (- x - 8)}{x + 5} < 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{3 (- (x) - 8)}{x + 5} < 0$

Schritt 2.6

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{3 (- (x) - 1 (8))}{x + 5} < 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (8)$ heraus.

$\frac{3 (- (x + 8))}{x + 5} < 0$

Schritt 2.8

Schreibe $- (x + 8)$ als $- 1 (x + 8)$ um.

$\frac{3 (- 1 (x + 8))}{x + 5} < 0$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (x + 8)}{x + 5} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 8 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 5

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 8$

$x = - 5$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 8, - 5$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{3 (x + 8)}{x + 5}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{3 (x + 8)}{x + 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 5 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 5$

$x > - 5$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 10) - 4}{(- 10) + 5} < 4$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $2.8$ ist kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 8 < x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 8 < x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 6) - 4}{(- 6) + 5} < 4$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $10$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) - 4}{(0) + 5} < 4$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $- 0.8$ ist kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 8$ Wahr

$- 8 < x < - 5$ Falsch

$x > - 5$ Wahr

$x < - 8$ Wahr

$- 8 < x < - 5$ Falsch

$x > - 5$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 8$ oder $x > - 5$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 8) \cup (- 5, \infty)$

Schritt 13