Trigonometrie Beispiele

$x^{2} + 10 x + y + 31 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x + y + 31 = - x^{2}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y + 31 = - x^{2} - 10 x$

Schritt 1.3

Subtrahiere $31$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x^{2} - 10 x - 31$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} - 10 x - 31$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 10$

$c = - 31$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 5$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 5$ als $- - 5$ um.

$d = - - 5$

Schritt 2.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$d = 5$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 31 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$e = - 31 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - 31 - \frac{100}{- 4}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $100$ durch $- 4$ .

$e = - 31 - - 25$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 25$ .

$e = - 31 + 25$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $- 31$ und $25$ .

$e = - 6$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x + 5)}^{2} - 6$ ein.

$- {(x + 5)}^{2} - 6$

Schritt 3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x + 5)}^{2} - 6$